Bổ sung chút về Holder với $m=n=3$ 
. CMR:
$(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\geq (axm+byn+czp)^3$
Với các biến dương.
-Ta sẽ cm bằng cách áp dụng Cauchy 3 số:
$$\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$
$$\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3}\geq \frac{3byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$
$$\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3}\geq \frac{3czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$
Cộng ba cái lại ta có ĐPCM
Góp thêm 1 cách chứng minh holder:
Như ta đã biết bất đẳng thức Bunhia :
[TEX](a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geq (ax+by+cz)^2[/TEX]
Nên:
[TEX](a^4+b^4+c^4)(x^4+y^4+z^4)(m^4+n^4+p^4)(k^4+q^4+l^4) \geq [(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2)(m^2k^2+n^2q^2+l^2p^2)]^2 \geq (axmk+bynq+czpl)^4[/TEX]
Tức là ta đã có bất đẳng thức Holder bậc 4.
Tiếp tục như sau:
[TEX](a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)(amx+bny+cpz) \geq (\sqrt[4]{a^4m^4x^4}+\sqrt[4]{(bny)^4}+\sqrt[4]{(cpz)^4})^4=(amx+bny+cbz)^4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3) \geq (amx+bny+cnz)^3[/TEX](đpcm)
P/s: Ta đã thấy cách này trong chứng minh cô-si 3 số.Điều đó có nghĩa là Holder tổng quát cũng có thể chứng minh như cô-sy tổng quát tức là dùng kĩ thuật quy nạp cô-sy
Các bạn thử làm xem :d
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn