[Toán 9] CM P$\geq$ 3

[nguyenquynang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[Toán 9] [TEX]P \geq\sqrt{3}[/TEX]

Cho biểu thức [TEX]P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd[/TEX] trong đó ad-bc=1
cm [TEX]P \geq\sqrt{3}[/TEX]

 

[conan98md]

ta có $(ad-bc)^2+(ac+bd)^2$ = $(a^2+b^b)(c^2+d^2)$

\Rightarrow 1+ $(ac+bd)^2$ = $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

áp dụng BDT cô si

$(a^2+b^2)+(c^2+d^2)$ \geq $2\sqrt[]{ (a^2+b^b)(c^2+d^2)}$

\Rightarrow P \geq $2\sqrt[]{ (a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ +ac +bd

do đó cần CM : $2\sqrt[]{ (a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ +ac +bd \geq $\sqrt[]{3}$

\Leftrightarrow $\sqrt[]{1+ (ac+bd)^2}$ $\sqrt[]{3}$

đặt ac+bd =x và p=$2\sqrt[]{1+x^2}$ + x

\Rightarrow $p^2$ = $(\sqrt[]{1+x^2}+2x)^2$ \geq 3

\Rightarrow p\geq $\sqrt[]{3}$

\Rightarrow đpcm