[Toán 9] CM bđt

[zezo_flyer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh bất đẳng thức :

$(\frac{a+b+c+d}{4})^4$\geq $abcd$

 

[sam_chuoi]

Umbala

Phải có đk là $a,b,c,d\ge0$ bạn à. Đây là Côsi 4 số. Ta có $(\dfrac{m+n}{2})^2\gemn$. Đặt $a+b=m\ge0$, $c+d=n\ge0$. Do $m,n\ge0$ nên $(\dfrac{m+n}{2})^4\gem^2n^2$ (1). Mà $m^2=(a+b)^2\ge4ab$ (2), $n^2=(c+d)^2\ge4cd$ (3). Do $a,b,c,d\ge0 nên lấy (2).(3) ta có m^2n^2\ge16abcd$ (4). Từ (1) và (4) suy ra $(\dfrac{m+n}{2})^2\ge16abcd$ suy ra đpcm. Dấu = xảy ra khi m=n, a=b, c=d hay a=b=c=d.

 

[braga]

Đây chính là bất đẳng thức $Cauchy$.

 

[braga]

Ta dễ dàng chứng minh bđt: $\dfrac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$
$BDT\iff \dfrac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd} \\ \text{Ta có:} \\ VT=\dfrac{a+b+c+d}{4}=\dfrac{\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2}}{2}\ge \dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge \sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}$
Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn.