[toán 9] CM Bất đẳng thức

[duyandmichael]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1:đã giải
cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c = [TEX]\sqrt[]{3}[/TEX]
chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}} + \frac{1}{\sqrt[]{b}} +\frac{1}{\sqrt[]{c}} < \frac{2}{\sqrt[]{abc}}[/TEX]
bài 2:đã giải
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, ta có:
[TEX]\frac{2}{(2k+1)(\sqrt[]{k+1} + \sqrt[]{k})}<\frac{1}{\sqrt[]{k}} - \frac{1}{\sqrt[]{k+1}}[/TEX]
bài 3:đã giải
Chứng minh rằng : [TEX]\frac{2}{3(\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2})} + \frac{2}{5(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})} +....+ \frac{2}{4023(\sqrt[]{2011} + \sqrt[]{2012})} < \frac{2011}{2012}[/TEX]

Thanks!

 

[khaitien]

bài 1:
cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c = [TEX]\sqrt[]{3}[/TEX]
chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}} + \frac{1}{\sqrt[]{b}} +\frac{1}{\sqrt[]{c}} < \frac{2}{\sqrt[]{abc}}[/TEX]
bài 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, ta có:
[TEX]\frac{2}{(2k+1)(\sqrt[]{k+1} + \sqrt[]{k})}<\frac{1}{\sqrt[]{k}} - \frac{1}{\sqrt[]{k+1}}[/TEX]
bài 3:
Chứng minh rằng : [TEX]\frac{2}{3(\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2})} + \frac{2}{5(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})} +....+ \frac{2}{4023(\sqrt[]{2011} + \sqrt[]{2012})} < \frac{2011}{2012}[/TEX]

Thanks!

1.
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}} + \frac{1}{\sqrt[]{b}} +\frac{1}{\sqrt[]{c}} = \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{\sqrt{abc}} \leq \frac{a+c+b}{\sqrt{abc}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{abc}} < \frac{2}{\sqrt{abc}}[/TEX]
2. Quy đồng rồi tính vế phải , sau đó nhân chéo là ra .
3 . Áp dụng bài 2
[TEX]\Rightarrow VT < 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + .... - \frac{1}{\sqrt{2012}} < \frac{2011}{2012}[/TEX]


from duyandmichael:bạn ơi bạn có thể cm giúp mình bài 2 luôn đc không?

bài 1:
cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c = [TEX]\sqrt[]{3}[/TEX]
chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}} + \frac{1}{\sqrt[]{b}} +\frac{1}{\sqrt[]{c}} < \frac{2}{\sqrt[]{abc}}[/TEX]
bài 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, ta có:
[TEX]\frac{2}{(2k+1)(\sqrt[]{k+1} + \sqrt[]{k})}<\frac{1}{\sqrt[]{k}} - \frac{1}{\sqrt[]{k+1}}[/TEX]
bài 3:
Chứng minh rằng : [TEX]\frac{2}{3(\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2})} + \frac{2}{5(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})} +....+ \frac{2}{4023(\sqrt[]{2011} + \sqrt[]{2012})} < \frac{2011}{2012}[/TEX]

Thanks!

Bài 2: VP=[TEX]\frac{\sqrt[]{k+1} - \sqrt[]{k}}{\sqrt[]{k} . \sqrt[]{k+1}}[/TEX]
Nhân chéo 2 vế của BĐT ( do k >0)
\Rightarrow
[TEX]2 \sqrt[]{k} . \sqrt[]{k+1} < (\sqrt[]{k+1} - \sqrt[]{k} ) (\sqrt[]{k+1} + \sqrt[]{k} ) (k+ k +1 )[/TEX]
\Leftrightarrow 2[TEX] \sqrt[]{k} . \sqrt[]{k+1} < ( k+1-k)(2k+1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] 2 \sqrt[]{k} . \sqrt[]{k+1} < (2k+1)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]k +1 - 2 \sqrt[]{k} . \sqrt[]{k+1} +k > 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] (\sqrt[]{k+1} - \sqrt[]{k} ) ^ 2 > 0[/TEX] ( luôn đúng )
\Rightarrow đpcm