[Toán 9]CM bất đẳng thức

[ngovietthang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bai 1. Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thoả mãn ab + bc + cd + da=1
CMR: [TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b^3}{a+c+d} + \frac{c^3}{a+b+d} + \frac{d^3}{a+b+c} \geq \frac{1}{3}[/TEX]
Bài 2. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
CMR: [TEX]\frac{a^2}{b+c-a} + \frac{b^2}{c+a-b} + \frac{c^2}{a+b-c} \geq a+b+c[/TEX]
Bài 3. Cho a,b,c >0. CMR:
[TEX]\frac{a^5}{bc} + \frac{b^5}{ca} + \frac{c^5}{ab} \geq a^3 + b^3 + c^3[/TEX]
Bài 4. Cho a,b,c>0
CMR: [TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab+bc+ca[/TEX]
Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}} \geq a+b+c[/TEX]
Bài 6. C ho a,b,c>0, thoả mãn a+b+c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
[TEX]\frac{a(a+c-2b)}{ab+1} + \frac{b(b+a-c)}{bc+1} + \frac{c(c+b-2a)}{ca+1}[/TEX]
Bộ sưu tập CD lớp 9

 

[bboy114crew]

Bai 1. Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thoả mãn ab + bc + cd + da=1
CMR: [TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b^3}{a+c+d} + \frac{c^3}{a+b+d} + \frac{d^3}{a+b+c} \geq \frac{1}{3}[/TEX]
Bài 2. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
CMR: [TEX]\frac{a^2}{b+c-a} + \frac{b^2}{c+a-b} + \frac{c^2}{a+b-c} \geq a+b+c[/TEX]
Bài 3. Cho a,b,c >0. CMR:
[TEX]\frac{a^5}{bc} + \frac{b^5}{ca} + \frac{c^5}{ab} \geq a^3 + b^3 + c^3[/TEX]
Bài 4. Cho a,b,c>0
CMR: [TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab+bc+ca[/TEX]
Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}} \geq a+b+c[/TEX]
Bài 6. C ho a,b,c>0, thoả mãn a+b+c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
[TEX]\frac{a(a+c-2b)}{ab+1} + \frac{b(b+a-c)}{bc+1} + \frac{c(c+b-2a)}{ca+1} [/TEX]
Bộ sưu tập CD lớp 9

Bài 1:
Áp dụng BĐT cô si:
[TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b+c+d}{18}+\frac{1}{12} \geq \frac{a}{6}[/TEX]
làm Tương tự rùi cộng lại và áp dụng BĐT [TEX](a+b+c+d)^2 \geq 4(ab+bc+cd+da)[/TEX]
ta tim được GTNN!
Bài 2: Áp dụng BĐT CS dạng engel :
[TEX]\frac{a^2}{b+c-a} + \frac{b^2}{c+a-b} + \frac{c^2}{a+b-c} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c[/TEX]
Bài 3: BĐT cần chứng minh tương đương với:
[TEX]\sum a^6 \geq abc\sum a^3[/TEX]
Áp dụng BĐT AM-GM cho 6 số:
[TEX]4a^6+b^6+c^6 \geq a^4bc[/TEX]
Làm tương tự rồi cộng lại ta được ĐPCM!
Bài 4:Áp dụng BĐT AM-GM:
[TEX]\frac{a^3}{b}+ab \geq 2a^2[/TEX]
Làm tương tự rồi cộng lại và sử dụng BĐT [TEX]\sum ab \leq \sum a^2[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Bài 1:
Áp dụng BĐT cô si:
[TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b+c+d}{18}+\frac{1}{12} \geq \frac{a}{6}[/TEX]
làm Tương tự rùi cộng lại ta tim được GTNN!
Bài 2: Áp dụng BĐT CS dạng engel :
[TEX]\frac{a^2}{b+c-a} + \frac{b^2}{c+a-b} + \frac{c^2}{a+b-c} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c[/TEX]
Bài 4:Áp dụng BĐT AM-GM:
[TEX]\frac{a^3}{b}+ab \geq a^2[/TEX]
Làm tương tự rồi cộng lại và sử dụng BĐT [TEX]\sum ab \leq \sum a^2[/TEX]

Hình như bài 4 đánh nhầm hệ số thì phải!

:Áp dụng BĐT AM-GM:
[TEX]\frac{a^3}{b}+ab \geq 2a^2[/TEX]
Làm tương tự và công từng vế lại, áp dụng BDT[TEX] a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX]

Cơ mà anh/chị conan rảnh dạy em học với [;~]


Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ac[/TEX]

Dạy kiểu gì cô Girl . Có bằng ai đâu mà dạy . Còn phải học hỏi nhiều lắm
Cân bằng hệ số và Cauchy )
[tex]\sum\frac{a^3}{b}+\sum ab\ge 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)=>\vec{dpcm}[/TEx]

Bài 2:
Áp dụng dạng mở rộng của BDT bu nhi a cop xki ta có:
[TEX] \frac{a^2}{b+c-a} + \frac{b^2}{c+a-b} + \frac{c^2}{a+b-c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-(a+b+c)}=a+b+c[/TEX]
Dấu = xảy ra khi...(tự giải quyết)

Tốt nhất nên tham khảo nhiều BDT trong:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=960736#post960736

Cách CM BDT bunhiacopxki ở dạng mở rộng có thể dựa theo BDT Bunhiacopxki ở dạng cơ bản.

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 3. Cho a,b,c >0. CMR:
[TEX]\frac{a^5}{bc} + \frac{b^5}{ca} + \frac{c^5}{ab} \geq a^3 + b^3 + c^3[/TEX]

[TEX]P=\frac{a^5}{abc} + \frac{b^6}{bca} + \frac{c^6}{abc} \geq \frac{(a^3 + b^3 + c^3)^2 }{3abc}[/TEX]
theo cosi
[TEX]3abc\leq a^3+b^3+c^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX]đpcm[TEX]\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

Bài 4 làm tương tự bài này

 

[locxoaymgk]

Bai 1. Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thoả mãn ab + bc + cd + da=1
CMR: [TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b^3}{a+c+d} + \frac{c^3}{a+b+d} + \frac{d^3}{a+b+c} \geq \frac{1}{3}[/TEX]
Bài 2. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
CMR: [TEX]\frac{a^2}{b+c-a} + \frac{b^2}{c+a-b} + \frac{c^2}{a+b-c} \geq a+b+c[/TEX]
Bài 3. Cho a,b,c >0. CMR:
[TEX]\frac{a^5}{bc} + \frac{b^5}{ca} + \frac{c^5}{ab} \geq a^3 + b^3 + c^3[/TEX]
Bài 4. Cho a,b,c>0
CMR: [TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab+bc+ca[/TEX]
Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}} \geq a+b+c[/TEX]
Bài 6. C ho a,b,c>0, thoả mãn a+b+c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
[TEX]\frac{a(a+c-2b)}{ab+1} + \frac{b(b+a-c)}{bc+1} + \frac{c(c+b-2a)}{ca+1}[/TEX]
Bộ sưu tập CD lớp 9

Chú ý: Viết lách thì cẩn thận tí,chị miko đánh nhầm rồi kìa!
Bài 6:

BDT tương đương với:
[TEX] \frac{a(1-b)}{ab+1}+1+\frac{b(1-c}{bc+1}+1+\frac{c(1-a)}{ca+1}+1 \geq 3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a+1}{ab+1}+\frac{b+1}{bc+1}+\frac{c+1}{ca+1}\geq 3[/TEX]
Áp dụng BDT cô si ta có:
[TEX]VT \geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{(ab+1)(bc+1)(ca+1}}[/TEX][TEX] \geq 3[/TEX]

Chú ý đến BDT :
[TEX](a+1)(b+1)(c+1) \geq (ab+1)(bc+1)(ca+1)[/TEX]
Dấu = xảy ra khi[TEX] a=b=c=1[/TEX]

 

[conan_edogawa93]

Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}} \geq a+b+c[/TEX]

Ta có:
[tex](a+b+c)^2=(a+b+c)^2\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3}\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}(a+b+c)\\\ge (ab+bc+ca)(a+b+c)\ge (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2\\=>a+b+c\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\\**VT=\sum\frac{a^2}{a\sqrt{b}}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\ge a+b+c=>\vec{DONE}[/tex]

 

[khanh_ndd]

Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}} \geq a+b+c[/TEX]

Bình phương 2 vế và sử dụng BDT [TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}[/TEX] là OK! \m/

 

[thienlong_cuong]

Hình như bài 4 đánh nhầm hệ số thì phải!

:Áp dụng BĐT AM-GM:
[TEX]\frac{a^3}{b}+ab \geq 2a^2[/TEX]
Làm tương tự và công từng vế lại, áp dụng BDT[TEX] a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX]

Bài 4 :
em thử dùng Dùng cauchy schwarz


[TEX](\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a})(\frac{b^3}{a} + \frac{c^3}{b} + \frac{a^3}{c} \geq (ab + bc + ac)^2[/TEX]

Mặt khác

[TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq \frac{b^3}{a} + \frac{c^3}{b} + \frac{a^3}{c}[/TEX]

(cái ni xét hiệu OK)

\Rightarrow đpcm

 

[bboy114crew]

Ta có:
[tex](a+b+c)^2=(a+b+c)^2\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3}\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}(a+b+c)\\\ge (ab+bc+ca)(a+b+c)\ge (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2\\=>a+b+c\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\\**VT=\sum\frac{a^2}{a\sqrt{b}}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\ge a+b+c=>\vec{DONE}[/tex]

Ta có:[TEX]\left(\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}}\right)^2=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2(a\sqrt{\frac{b}{c}}+ b\sqrt{\frac{c}{a}}+c\sqrt{\frac{a}{b}})[/TEX]
Áp dụng BDT AM-GM ta có:
[TEX]\frac{a^2}{b}+a\sqrt{\frac{b}{c}}+a\sqrt{\frac{b}{c}}+c \ge 4a[/TEX]
Xây dựng các BĐT tương tự cộng vào suy ra:
[TEX]\left(\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 3(a+b+c) \ge (a+b+c)^2[/TEX]

 

[ngovietthang]

Bài 1:
Áp dụng BĐT cô si:
[TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b+c+d}{18}+\frac{1}{12} \geq \frac{a}{6} [/TEX](Sai)
làm Tương tự rùi cộng lại và áp dụng BĐT [TEX](a+b+c+d)^2 \geq 4(ab+bc+cd+da)[/TEX]
ta tim được GTNN!

Hổng hiểu
[TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b+c+d}{18}+\frac{1}{12} \geq \frac{a}{2}[/TEX]
Why
[TEX](a+b+c+d)^2 \geq 4(ab+bc+cd+da)[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Hổng hiểu
[TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b+c+d}{18}+\frac{1}{12} \geq \frac{a}{2}[/TEX]
Why
[TEX](a+b+c+d)^2 \geq 4(ab+bc+cd+da)[/TEX]

Dung AM - GM là ra mà bạn ! anh bboy14crew nhầm tý thôi mà !

Còn [TEX](a + b + c + d)^2 \geq 4(a + c)(b + d) = 4(ab + ad + bc + dc)[/TEX] OK

 

[ngovietthang]

Bài 1. Cho x,y,z >0
CMR: [TEX]\frac{x^2 - y^2}{y+z} + \frac{z^2 - y^2}{x+y} + \frac{y^2 - x^2}{x+y} \geq 0 [/TEX]
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[TEX]P= \frac{(x^3 + y^3) - (x^2 + y^2)}{(x-1)(y-1)}[/TEX]
(x,y>1)
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[TEX]P= \frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2} + \frac{y^{10}}{x^2}) + \frac{1}{4}(x^{16} + y^{16}) - (1+x^2y^2)^2[/TEX]
Bài 4 CMR
[TEX]P= \frac{1}{a^4(a+b)} + \frac{1}{b^4(b+c)} + \frac{1}{c^4(c+a)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Bộ sưu tập CD lớp 9

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[TEX]P= \frac{(x^3 + y^3) - (x^2 + y^2)}{(x-1)(y-1)}[/TEX]
(x,y>1)

[TEX]P= \frac{x^2 }{y-1}+ \frac{ y^2}{x-1} \geq 8 \ (AM-GM)[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x=y=2[/TEX]

:|

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[TEX]P= \frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2} + \frac{y^{10}}{x^2}) + \frac{1}{4}(x^{16} + y^{16}) - (1+x^2y^2)^2[/TEX]

[TEX]P \geq \frac{1}{2}(x^8+y^8) + \frac{1}{4}(x^{16} + y^{16}) - x^8-y^8-2[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{4}(x^{16} + y^{16}-2x^8-2y^8)-2[/TEX]

[TEX]\geq \frac{1}{4}(-2)-2[/TEX]

[TEX]= \frac{-3}{2}[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x=y=+-1[/TEX]

 

[khanh_ndd]

Bài 1. Cho x,y,z >0
CMR: [TEX]\frac{x^2 - y^2}{y+z} + \frac{z^2 - y^2}{x+y} + \frac{y^2 - x^2}{x+y} \geq 0 [/TEX]
Bài 4 CMR
[TEX]P= \frac{1}{a^4(a+b)} + \frac{1}{b^4(b+c)} + \frac{1}{c^4(c+a)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

1. [TEX]VT\Leftrightarrow \sum x^2(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y})=\sum \frac{x^2(x-z)}{(x+y)(y+z)}=\sum \frac{\sum x^4-\sum x^2z^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}\ge 0[/TEX]
4. đầu bài thiếu!cho [TEX]a,b,c\to +\infty[/TEX] thì thấy ngay không có min.

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Bài 4 CMR
[TEX]P= \frac{1}{a^4(a+b)} + \frac{1}{b^4(b+c)} + \frac{1}{c^4(c+a)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

nếu cho a, b, c>0 và abc=1 thì mới làm đc
đặt ẩn phụ a=1/x, b=1/y, c=1/z rồi dùng cauchy-schwarz
:|

 

[01263812493]

[TEX]P \geq \frac{1}{2}(x^8+y^8) + \frac{1}{4}(x^{16} + y^{16}) - x^8-y^8-2[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{4}(x^{16} + y^{16}-2x^8-2y^8)-2[/TEX]

[TEX]\geq \frac{1}{4}(-2)-2[/TEX]

[TEX]= \frac{-3}{2}[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x=y=+-1[/TEX]

[TEX]\blue P \geq x^4y^4 +\frac{1}{2}x^8y^8 -1 -x^4y^4-2x^2y^2=\frac{1}{2}x^8y^8+\frac{1}{2}-2x^2y^2-\frac{3}{2} \geq x^4y^4-2x^2y^2+1 - \frac{5}{2}=(x^2y^2-1)^2 - \frac{5}{2} \geq \frac{-5}{2}[/TEX]
[TEX]\blue " =" \leftrightarrow x=y=\pm 1[/TEX]

 

[ngovietthang]

bài nữa
CMR với a,c,b>0, abc=1
ta có bất đẳng thức
[TEX]a+b+c \geq \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a}[/TEX]

 

[bboy114crew]

bài nữa
CMR với a,c,b>0, abc=1
ta có bất đẳng thức
[TEX]a+b+c \geq \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a}[/TEX]

Bài tổng quát!
[TEX]a+b+c \geq \frac{x+a}{x+b} + \frac{x+b}{x+c} + \frac{x+c}{x+a}[/TEX]
[TEX]x \in R[/TEX]