[Toán 9]CM bất đẳng thức có điều kiện miền

[ngovietthang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

2 câu trước
Câu 1. Cho các số[TEX] x,y,z \in [-1;2][/TEX] thoả mãn x+y+z=0
CMR:[TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 6[/TEX]
Câu 2. Cho các số [TEX]x,y,z \in [0;2][/TEX] thoả mãn [TEX]x+y+z=3[/TEX]
CMR:[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \leq 5[/TEX]

 

[locxoaymgk]

2 câu trước
Câu 1. Cho các số[TEX] x,y,z \in [-1;2][/TEX] thoả mãn x+y+z=0
CMR:[TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 6[/TEX]
Câu 2. Cho các số [TEX]x,y,z \in [0;2][/TEX] thoả mãn [TEX]x+y+z=3[/TEX]
CMR:[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \leq 5[/TEX]

Câu 1:
Do [tex] -1 \leq x,y,z \leq 2 [/tex]

[tex] (x+1)(x-2) \leq 0 \ (1)[/tex]

[tex] (y+1)(y-2) \leq 0 \ (2) [/tex]

[tex] (z+1)(z-2) \leq 0 \ (3) [/tex]

Cộng từng vế các BT trên ta có:
[tex] {x^2 +y^2 +z^2 -(x+y+z) -6} \leq 0 [/tex]


=> [tex] {x^2 +y^2 +z^2} \leq 6 [/tex] (do [TEX]x+y+z =0)[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi: [TEX](x,y,z)=(-1,-1,2);(-1,2,-1);(2,-1,-1)[/TEX]

Câu 2: Làm tương tự!.( Cũng chẳng biết có tương tự dc ko nữa ? ^^
Theo bài ra ta có:
[tex] (2-a)(2-b)(2-c)\geq{0} [/tex].mà [tex]abc\geq{0} [/tex]. nên [tex] (2-a)(2-b)(2-c)+abc\geq{0} [/tex].\Rightarrow [tex] -2(ab+ac+bc) \leq{-4}[/tex].
mà [tex] (a^2+b^2 +c^2)=9[/tex].\Rightarrow [tex] a^2+b^2+c^2=9-2(ab+ac+bc) \leq{5}[/tex]

 

[ngovietthang]

Câu 2: Làm tương tự!.( Cũng chẳng biết có tương tự dc ko nữa ? ^^

Câu 2 làm tương tụ kiểu gì
theo kết quả thì 2 bài này có cách làm khác nhau

 

[ngovietthang]

Câu 2. Cho các số [TEX]x,y,z \in [0;2][/TEX] thoả mãn [TEX]x+y+z=3[/TEX]
CMR:[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \leq 5[/TEX]

[TEX]x,y,z \in [0;2][/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2) \leq 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xyz + 4x+4y+4z - 2xy-2yz-2zx -8 \leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xyz + 4 + x^2 + y^2 + z^2 - (x+y+z)^2 \leq 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + xyz +4-9 \leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 \leq 5[/TEX](xyz \geq 0)
Dấu bằng [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] có 1 số =1, có 1 số =2, có một số =0

 

[ngovietthang]

4 câu nữa
Câu 1.
Cho x,y,z thoả mãn x+y+z = 3 và [TEX]x,y,z \in [-1;3][/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất của [TEX]Q= x^2 + y^2 + z^2[/TEX]
Câu 2.
Cho các số thực [TEX]a,b,c \in [-2;5][/TEX] t/m [TEX]a+2b+3c \leq 2[/TEX]
[TEX]a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 66[/TEX]
Câu 3.
Tìm GTLN của [TEX]A=(2x-x^2)(y-2y^2)[/TEX]
Với [TEX]0 \leq x \leq2 ; 0 \leq y \leq \frac{1}{2}[/TEX]
Câu 4.
Cho x,y,z \geq 0 t/m [TEX]x+y+z = 1[/TEX]
CMR: [TEX]xy + yz + zx \leq \frac{2}{7} + \frac{9}{7}xyz[/TEX]