[Toán 9]CM bất đẳng thức (2) PP sử dụng BDT phụ

[ngovietthang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1. CMR
[TEX]\frac{3\sqrt{3}}{4} \leq \frac{bc}{a(1+bc)} + \frac{ca}{b(1+ca)} + \frac{ab}{c(1+ab)} \leq \frac{a+b+c}{4}[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức [TEX](\frac{1}{x} + \frac{1}{y})(x+y) \geq 4)[/TEX]
Bài 2. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. p là nửa chu vi.
a, tam giác đó là tam giác gì nếu
[TEX]15bc + 10ca + 1964ab = 2006abc[/TEX]
b, GTNN của [TEX]M = \frac{1974}{p-a} + \frac{1979}{p-b} + \frac{125}{p-c} [/TEX]
Bài 3. Cho x,y,z dương. Tìm GTNN của
[TEX]P=\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}[/TEX]
Bài 4. Cho a,b,c >0.CMR
[TEX]\frac{a}{3a + b+c} + \frac{b}{3b + a+ c} + \frac{c}{3c + a+ b} \leq \frac{3}{5}[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 2. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. p là nửa chu vi.
a, tam giác đó là tam giác gì nếu
[TEX]15bc + 10ca + 1964ab = 2006abc[/TEX]
b, GTNN của [TEX]M = \frac{1974}{p-a} + \frac{1979}{p-b} + \frac{25}{p-c}[/TEX]

ta có:
[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b} \geq \frac{4}{p-a+p-b}=\frac{2}{c}[/TEX]
tương tự:
[TEX]\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq \frac{2}{a}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a} \geq \frac{2}{b}[/TEX]
[TEX]GT \Leftrightarrow \frac{15}{a}+\frac{10}{b}+\frac{1964}{c}=2006[/TEX]
[TEX]M=15(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c})+10(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a})+1964(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}) \geq 2(\frac{15}{a}+\frac{10}{b}+\frac{1964}{c})=4012[/TEX]

 

[tuyn]

ta có:
[TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b} \geq \frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{c}[/TEX]
tương tự:
[TEX]\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq \frac{4}{a}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a} \geq \frac{4}{b}[/TEX]
[TEX]GT \Leftrightarrow \frac{15}{a}+\frac{10}{b}+\frac{1964}{c}=2006[/TEX]
[TEX]M=15(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c})+10(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a})+1964(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}) \geq 4(\frac{15}{a}+\frac{10}{b}+\frac{1964}{c})=8024[/TEX]

 

[harrypham]

Bài 3 bạn có chắc không, vì ta không tìm được cả giá trị nhỏ nhất lẫn giá trị lớn nhất của P thì phải.

 

[harrypham]

Bài 4. Cho a,b,c >0.CMR
[TEX]\frac{a}{3a + b+c} + \frac{b}{3b + a+ c} + \frac{c}{3c + a+ b} \leq \frac{3}{5}[/TEX]

Gợi ý: Phân tích

[TEX]\frac{a}{3a+b+c}-\frac{1}{2}=-\frac{a+b+c}{2(3a+b+c)}[/TEX]​

Như vậy

[TEX](a+b+c)(\sum_{cyc}{\frac{1}{3a+b+c}})\geq \frac{9}{5}[/TEX]​

Dùng AM-GM là ok.

​

 

[bboy114crew]

Bài 3. Cho x,y,z dương. Tìm GTNN của
[TEX]P=\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}[/TEX]
[/TEX]

Bài này không khó lém!
[tex]P = \frac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}[/tex]
[tex] \geq \frac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \frac{9}{{ab}+bc+ac}[/tex]
[tex] = \frac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} +\frac{1}{2({ab}+bc+ac)}+\frac{17}{2({ab}+bc+ac)}[/tex]
[tex] \geq \frac{9}{(a+b+c)^2} +\frac{17}{2\frac{(a+b+c)^2}{3}}[/tex]

tuyn ở BG à anh em làm quen phát
sdt của em là: 0984570673