[Toán 9] Cm $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

B

braga

$P = (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \le 10 \ (*). $

$ (*) \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} \le 7. $

Không mất tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c$. Khi đó:

$ (a – b)(b– c) \ge 0 $
$ \Leftrightarrow ab + bc \ge b^2 + ac \Leftrightarrow \frac{a}{c} + 1 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} \ (1) $

$ ab + bc \ge b^2 + ac\Leftrightarrow \frac{c}{a} + 1 \ge \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \ (2) $

Do $ 1 \le a \le c \le 2 \to a \le c \le 2a \to (c – 2a)(2c – a) \le 0 $

$ 2(a^2 + c^2) \le 5ac \to 5 \ge 2(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) \ (3) $

Cộng theo vế của (1),(2),(3) được $7 \ge \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} $

Vậy (*) được chứng minh.
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom