[toán 9] chuyên đề số chính phương

[tottochan777]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) tìm 4 số nguyên ltiếp có tích của chúg là 1 số cphương
2) tìm x,y thuộc Z t/m:
a) [tex] y^2(x+1)=1576+x^2[/tex]
b)[tex]2^x+2^y+2^z=2336[/tex]
c)[tex] 2^x+171=y^2[/tex]
3)tìm x,y thuộc N*:
[tex] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2011} một câu ngoài: cho [tex] x^3+y^3=z^3[/tex]
c/m xyz chia hết 7

 

[harrypham]

1) tìm 4 số nguyên ltiếp có tích của chúg là 1 số cphương
2) tìm x,y thuộc Z t/m:
b)[tex]2^x+2^y+2^z=2336[/tex]

Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử [TEX]x \le y \le z[/TEX]
[TEX]pt \Leftrightarrow 2^x(1+2^{y-x}+2^{z-x})=2^5.73[/TEX]
Do [TEX]1+2^{y-x}+2^{z-x}[/TEX] lẻ nên [TEX]2^x=2^5 \Rightarrow x=5[/TEX].
Và [TEX]2^{y-x}+2^{z-x}=72=2^3.9=2^{y-x}(1+2^{z-y})[/TEX].
Vậy [TEX]2^{y-x}=2^3 \Rightarrow y-x=3 \Rightarrow y=8[/TEX].
Và [TEX]2^{z-y}=8 \Rightarrow x=11[/TEX].

Vậy [TEX]\fbox{(x,y,z)=(5,8,11)}[/TEX].

Nhận xét. Có thể đưa ra bài toán sau:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương [TEX]2^x+2^y+2^z=2^t[/TEX].

 

[harrypham]

cho [tex] x^3+y^3=z^3[/tex]
c/m xyz chia hết 7

Bài này ta vận dụng tính chất sau: [TEX]a^2 \equiv 0,1,6 \pmod{7}[/TEX].

Như vậy, ta xét
+ [TEX]x^3 \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow xyz \vdots 7[/TEX].
+ [TEX]x^3 \equiv 1 \pmod{7}[/TEX]
Có các trường hợp sau:
TH1: [TEX]y^3 \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow xyz \vdots 7[/TEX].
TH2: [TEX]y^3 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow z^3 \equiv 2 \pmod{7}[/TEX], vô lí.
TH3: [TEX]y^3 \equiv 6 \pmod{7} \Rightarrow z^3 \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow xyz \vdots 7[/TEX].
+ [TEX]x^3 \equiv 6 \pmod{7}[/TEX], ta thực hiện tương tự

Ta có đpcm.

 

[minhtuyb]

2) tìm x,y thuộc Z t/m:
a) [tex] y^2(x+1)=1576+x^2[/tex]
c)[tex] 2^x+171=y^2[/tex]
3)tìm x,y thuộc N*:
[tex] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2011}[/tex]
một câu ngoài:
cho [tex] x^3+y^3=z^3[/tex]
c/m xyz chia hết 7

2a.[tex] y^2(x+1)=1576+x^2(1)[/tex]
-Từ [TEX](1)\Rightarrow x>-1[/TEX]
[TEX](1)\Leftrightarrow y^2=\frac{x^2+1576}{x+1}=\frac{(x^2-1)+1577}{x+1}=x-1+\frac{1577}{x+1}[/TEX]
Vì [TEX]x,y \in Z\Rightarrow \frac{1577}{x+1}\in Z\Rightarrow x+1\in U_{(1577)}[/TEX]. Lại có [TEX]x>-1\Rightarrow x+1={1;19;83;1577}\Rightarrow x={0;18;82;1576}[/TEX]
Sau đó thử với từng g/trị của x để tìm g/trị của y ta tìm được các cặp nghiệm nguyên:[TEX](18;10);(82;10)[/TEX]
2c.[tex] 2^x+171=y^2(1)[/tex]
-Với [TEX]x=0;1[/TEX], không có gtrị nào của y TM
-Với [TEX]x\geq2[/TEX], ta có:
+)[TEX]2^x\equiv 0(mod4)[/TEX] và [TEX]171\equiv 3(mod4)\Rightarrow VT(1)\equiv 3(mod4)[/TEX]:-SS
+)[TEX]VP(1)=y^2\equiv 0;1(mod 4)[/TEX]:-SS:-SS
-Từ :-SSvà:-SS:-SS[TEX]\Rightarrow (1)[/TEX] vô nghiệm nguyên
3.tìm x,y thuộc N*:
[tex] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2011}[/tex]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2011}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2011x+2011x=xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy-2011x-2011y+2011^2=2011^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2011)(y-2011)=2011^2[/TEX]
Phân tích: [TEX]2011^2=1.2011^2=(-2011)(-2011)[/TEX] (Loại bỏ mấy trường hợp phân tích khác dựa vào điều kiện [TEX]x,y \in N*[/TEX])
Từ đây tìm được [tex](x;y)=(2012;2011^2+2011);(2011^2+2011;2012);(4022;4022)[/tex]

 

[legendyugi]

Còn mỗi bài 1 nhỉ

Gọi 4 số cần tìm là [TEX]x,x+1,x+2,x+3 (x \in Z\mathbb)[/TEX] ta có:
[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2 (y\in Q\mathbb)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4+6x^3+11x^2+6x=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2(x^2+6x+9)+2x(x+3)=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][x(x+3)]^2+2[x(x+3)]+1=y^2+1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][x(x+3)+1]^2=y^2+1[/TEX]\Rightarrow[TEX]y^2+1[/TEX]là số chính phương
Mà [TEX]y^2[/TEX] là 1 số chính phương nên trong các số hữu tỉ chỉ có y=0 là thoả mãn
\Rightarrow[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=0[/TEX]\Rightarrow1 trong bốn số phải bằng 0
\RightarrowCó 4 cặp số thoả mãn là [TEX](-3;-2;-1;0);(-2;-1;0;1);(-1;0;1;2);(0;1;2;3)[/TEX]

 

[son9701]

Còn mỗi bài 1 nhỉ

Gọi 4 số cần tìm là [TEX]x,x+1,x+2,x+3 (x \in Z\mathbb)[/TEX] ta có:
[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2 (y\in Q\mathbb)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4+6x^3+11x^2+6x=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2(x^2+6x+9)+2x(x+3)=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][x(x+3)]^2+2[x(x+3)]+1=y^2+1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][x(x+3)+1]^2=y^2+1[/TEX]\Rightarrow[TEX]y^2+1[/TEX]là số chính phương
Mà [TEX]y^2[/TEX] là 1 số chính phương nên trong các số hữu tỉ chỉ có y=0 là thoả mãn
\Rightarrow[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=0[/TEX]\Rightarrow1 trong bốn số phải bằng 0
\RightarrowCó 4 cặp số thoả mãn là [TEX](-3;-2;-1;0);(-2;-1;0;1);(-1;0;1;2);(0;1;2;3)[/TEX]

Spam 1 phát:
Cần thử lại vì có 2 cặp nghiệm có tích là số âm rành rành đi kia kìa
thân,
P/s:mod xoá hộ bài này )

 

[harrypham]

Còn mỗi bài 1 nhỉ

Gọi 4 số cần tìm là [TEX]x,x+1,x+2,x+3 (x \in Z\mathbb)[/TEX] ta có:
[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2 (y\in Q\mathbb)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4+6x^3+11x^2+6x=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2(x^2+6x+9)+2x(x+3)=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][x(x+3)]^2+2[x(x+3)]+1=y^2+1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][x(x+3)+1]^2=y^2+1[/TEX]\Rightarrow[TEX]y^2+1[/TEX]là số chính phương
Mà [TEX]y^2[/TEX] là 1 số chính phương nên trong các số hữu tỉ chỉ có y=0 là thoả mãn
\Rightarrow[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=0[/TEX]\Rightarrow1 trong bốn số phải bằng 0
\RightarrowCó 4 cặp số thoả mãn là [TEX](-3;-2;-1;0);(-2;-1;0;1);(-1;0;1;2);(0;1;2;3)[/TEX]

Có thể viết ngắn gọn như sau:
Giả sử [TEX]y \ge 0[/TEX].

[TEX]pt \Leftrightarrow (x^2+3x)(x^2+3x+2)=y^2[/TEX]​

Đặt [TEX]x^2+3x+1=a[/TEX], ta được

[TEX](a-1)(a+1)=y^2 \Leftrightarrow a^2-1=y^2 \Leftrightarrow (a+y)(a-y)=1[/TEX]​

Suy ra [TEX]a+y=a-y[/TEX], do đó [TEX]y=0[/TEX].
Như vậy [TEX]\fbox{x \in \{ 0,-1,-2,-3 \}}[/TEX].