[Toán 9] Chuyên đề BDT Hình học

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn thử sức với mấy bài toán sau nhé. (Dễ thôi, không khó mấy)

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ và $M$ nằm trong nó. Chứng minh:
$$ \text{min{MA; MB; MC}+MA+MB+MC< AB+BC+CA} $$

Bài 2: Cho tứ giác lồi $ABCD$ và $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh:
$$ MP+NQ \le \dfrac{AB+BC+CD+DA}{2} $$

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. Chứng minh:
$$ MA+MB+MC \ge 2\left ( d(M; BC)+d(M; CA)+ d(M; AB) \right ) $$

Bài 4: Cho hình vuông $ABCD$ là điểm $P$ tuỳ ý. Chứng minh:
$$ PA+PB+PC+PD \ge (1+\sqrt{2}).\text{max{PA; PB; PC; PD}}+\text{min{PA; PB; PC; PD}} $$

 

[nhuquynhdat]

Bài 2

Gọi O là trung điểm của AC

$\Delta ABC$ có: $AM=BM; AO=OC \Longrightarrow OM=\dfrac{BC}{2}$

$\Delta ACD$ có: $CP=DP;AO=OC \Longrightarrow OP=\dfrac{AD}{2}$

$\Longrightarrow OM+OP=\dfrac{BC+AD}{2}$

Mà $MP \le OM+OP \Longrightarrow MP \le \dfrac{BC+AD}{2}$

Tương tự ta có: $NQ \le \dfrac{AB+CD}{2}$

$\Longrightarrow MP+NQ \le \dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow ABCD$ là hình bình hành

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
Bổ đề quen thuộc: Cho tứ giác lồi $ABCD$ là điểm $M$ nằm trong nó. Khi đó: $MD+MC<CA+AB+BC$

Chứng minh: Trên $AB$ chọn điểm $N$ bất kỳ sao cho $M$ thuộc miền tam giác $NCD$.

Ta có $MC+MD<NC+ND<DA+AB+BC$

Áp dụng vào:

Dựng tam giác $ABC$ với $D,E,F$ là trung điểm các cạnh $BC,CA, AB$

Dễ dàng chứng minh $M$ sẽ nằm ít nhất 2 trong 3 tứ giác $BCEF, AFDC, AEBD$

Không mất tính tổng quát. Ta giả sử $M$ nằm trong $BCEF, AFDC$.

Ta có: $MA+MC <AF + FD + DC$ và $MB+MC < BF+FE+EC$

Cộng vế theo vế: $MC+MA+MB+MC< AB+BC+CA$

Vậy ta có điều cần chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

$AM$ cắt $(ABC)$ tại $A'$ khác $A$.

Theo đẳng thức Ptolemy: $AB.CA'+AC.BA'=AA'.BC$

Gọi $D,E$ lần lược là hình chiếu của $A'$ lên $AC,AB$

$\to A'B \ge A'E; A'C \ge A'D$

Ráp vào: $BC.A'A \ge AB.A'D+AC.A'E$
$\leftrightarrow \dfrac{AB}{BC}.d(M;AC)+\dfrac{AC}{BC}.d(M;AC)\le AM$ (Đồng dạng)

Xây dựng các BDT tương tự và cộng lại và Cauchy là có ngay điều cần chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:

Gọi cạnh hình vuông là $a$ thì đường chéo là $\sqrt{2}a$

Không mất tính tổng quát, giả sử $PD=\text{max{PA;PB;PC;PD}}\to PB=\text{min{PA;PB;PC;PD}}$

Áp dụng BDT Ptolemy: $\sqrt{2}aPD.\le (PA+PC)a \leftrightarrow PA+PC \ge \sqrt{2}PD$

$\leftrightarrow PA+PB+PC+PD \ge (1+\sqrt{2})PD+PB$

Chứng minh hoàn tất.