[Toán 9]Chuyên đề bất đẳng thức

[nhantd97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 3 số thực dương a, b, c thoã mãn ab+bc+ca=1. CM:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+ \frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+ \frac{c}{\sqrt{1+c^2}} \leq \frac{3}{2}[/TEX]
2) Cho 3 số thực dương a, b, c thoã mãn [TEX]a+b+c \leq 3[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geq 670[/TEX]
3) Cho 3 số thực dương a, b, c thoã mãn a+b+c=1. CMR:
[TEX]\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 16[/TEX]
Các bạn lưu ý một số dạng BĐT sau:
Dạng 1:[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac [/TEX] và [TEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac)[/TEX]
Dạng 2: BĐT Nesbitt 3 biến
Dạng 3: BĐT Cô-si 2 biến, 3 biến và hệ quả của chúng.
Dạng 4: Nếu a>0, b>0 thì [TEX]\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/TEX] hay [TEX]\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{a} +\frac{1}{b}] [/TEX]
Mong các bạn ủng hộ nhiệt tình để topic càng trở nên phong phú
*Nếu các bạn có gì thắc mắc hãy gởi bài tại topic này hoặc gởi đến địa chỉ e-mail: nhantd97@yahoo.com.vn và Y!:nhantd97

 

[meocon_113]

bài 1
[TEX]\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\leq\frac{1}{2}.(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})[/TEX]
tương tự
[TEX]\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\leq\frac{1}{2}.(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c})[/TEX]
[TEX]\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\leq\frac{1}{2}.(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c})[/TEX]
\Rightarrow VT\leq [TEX]\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}[/TEX]
bài 3.
áp dụng bất đẳng thức [TEX] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}[/TEX] ta có
[TEX]\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq\frac{4}{c(a+b)}[/TEX]=[TEX]\frac{4}{c(1-c)}[/TEX]
áp dụng cô si: [TEX]\sqrt{c(1-c)}\leq\frac{1}{2}[/TEX]\Rightarrow[TEX]c(1-c)\leq\frac{1}{4}[/TEX]
do đó: [TEX]\frac{4}{c(1-c)}\geq16[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq16[/TEX]

 

[mamy007]

1)cho 3 số thực không âm a+b+C =1
chưng minh [TEX] b+c\geq 16abc[/TEX] dâu bất đẳng thức xảy ra khi nào??
2) Với giá trị nào của góc nhọn a thì biểu thức [TEX]P=sina^6+sinb^6[/TEX] có giá trị nhỏ nhất . cho biết giad trị đó

 

[linhhuyenvuong]

1)cho 3 số thực không âm a+b+C =1
chưng minh [TEX] b+c\geq 16abc[/TEX] dâu bất đẳng thức xảy ra khi nào??
2) Với giá trị nào của góc nhọn a thì biểu thức [TEX]P=sina^6+sinb^6[/TEX] có giá trị nhỏ nhất . cho biết giad trị đó

1, [TEX](a+b+c)^2=[a+(b+c)]^2 \geq4a(b+c)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1 \geq 4a (b+c) (do a+b+c=1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]b+c\geq 4a.(b+c)^2 (b+c \geq0)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]b+c\geq4a. 4bc=16abc[/TEX]
''='' \Leftrightarrow[TEX]a=\frac{1}{2}; b=c=\frac{1}{4}[/TEX]
2,Sửa lại đề đi
Mà theo đề cho góc nhọn a sao P lại có cả b

 

[celebi97]

1, [TEX](a+b+c)^2=[a+(b+c)]^2 \geq4a(b+c)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1 \geq 4a (b+c) (do a+b+c=1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]b+c\geq 4a.(b+c)^2 (b+c \geq0)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]b+c\geq4a. 4bc=16abc[/TEX]
''='' \Leftrightarrow[TEX]a=\frac{1}{2}; b=c=\frac{1}{4}[/TEX]
2,Sửa lại đề đi
Mà theo đề cho góc nhọn a sao P lại có cả b

Mình nghĩ thế này ngắn hơn!
[TEX]b+c \geq 16abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 16a[/TEX]

Thay [TEX]a = 1-b-c[/TEX] ! Biến đồi bình thường là ra!

 

[nhantd97]

Một số bài BĐT ở các bài thi nước ngoài

1) Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR:
[TEX]\frac{2a^3}{a^6+bc}+ \frac{2b^3}{b^6+ca}+ \frac{2c^3}{c^6+ab} \leq \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+ \frac{c}{ab}[/TEX]
2) Cho x, y, z dương thoã mãn x+2y+3z=18. CMR:
[TEX]\frac{2y+3z+5}{1+x}+ \frac{3z+x+5}{1+2y}+ \frac{x+2y+5}{1+3z} \geq \frac{51}{7}[/TEX]
3) Cho 3 số thực dương a, b, c thoã mãn [TEX]abc \geq 1[/TEX]. CMR:
[TEX](a+\frac{1}{a+1})(b+\frac{1}{b+1})(c+\frac{1}{c+1}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]
4) Cho 3 số thực a, b, c. CMR:
[TEX]1+ \frac{3}{ab+bc+ca} \geq \frac{6}{a+b+c}[/TEX]
*Chú ý:
Đây là một số dạng bài rất quan trọng nên hiện tại mọi người hãy chú trọng giải các bài này

 

[wangshixian_bmt]

giải zúp mình pài này chút
Cho a,b,c,d la 3 số dương thỏa: a<b<c
a+b+c=6
ab+bc+ca=9
CMR: a<1<b<3<c<4

 

[vip_boy_hp_9x]

bài 1

tương tự


VT
bài 3.
áp dụng bất đẳng thức ta có
=
áp dụng cô si:
do đó:

 

[buihuukieu]

bài 1

tương tự


VT
bài 3.
áp dụng bất đẳng thức ta có
=
áp dụng cô si:
do đó:

bạn ơi bạn làm hay vậy chỉ có lời k là sao?????
___________________________

 

[vip_boy_hp_9x]

bài 1

tương tự


VT
bài 3.
áp dụng bất đẳng thức ta có
=
áp dụng cô si:
do đó:

 

[locxoaymgk]

1) Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR:
[TEX]\frac{2a^3}{a^6+bc}+ \frac{2b^3}{b^6+ca}+ \frac{2c^3}{c^6+ab} \leq \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+ \frac{c}{ab}[/TEX]
2) Cho x, y, z dương thoã mãn x+2y+3z=18. CMR:
[TEX]\frac{2y+3z+5}{1+x}+ \frac{3z+x+5}{1+2y}+ \frac{x+2y+5}{1+3z} \geq \frac{51}{7}[/TEX]
3) Cho 3 số thực dương a, b, c thoã mãn [TEX]abc \geq 1[/TEX]. CMR:
[TEX](a+\frac{1}{a+1})(b+\frac{1}{b+1})(c+\frac{1}{c+1}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]
4) Cho 3 số thực a, b, c. CMR:
[TEX]1+ \frac{3}{ab+bc+ca} \geq \frac{6}{a+b+c}[/TEX]
*Chú ý:
Đây là một số dạng bài rất quan trọng nên hiện tại mọi người hãy chú trọng giải các bài này

Bài 4:
[TEX] VT \geq 1+\frac{3^2}{(a+b+c)^2}\geq 2.\sqrt{1.\frac{3^2}{(a+b+c)^2}}=\frac{6}{a+b+c}.[/TEX]

 

[nhantd97]

1) Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR:
[TEX]\frac{2a^3}{a^6+bc}+ \frac{2b^3}{b^6+ca}+ \frac{2c^3}{c^6+ab} \leq \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+ \frac{c}{ab}[/TEX]
2) Cho x, y, z dương thoã mãn x+2y+3z=18. CMR:
[TEX]\frac{2y+3z+5}{1+x}+ \frac{3z+x+5}{1+2y}+ \frac{x+2y+5}{1+3z} \geq \frac{51}{7}[/TEX]
3) Cho 3 số thực dương a, b, c thoã mãn [TEX]abc \geq 1[/TEX]. CMR:
[TEX](a+\frac{1}{a+1})(b+\frac{1}{b+1})(c+\frac{1}{c+1}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]

ĐÃ LÀM ĐƯỢC BÀI 4 DO BẠN locxoaymgk LÀM, CÒN BÀI 1, 2, 3 MỌI NGƯỜI CỐ GẮNG LÀM NHÁ
**Nhân đây mình cũng có bài này:
Cho a, b ,c là các số thực dương. CMR:
[TEX]\frac{a^2 +bc}{b+c}+ \frac{b^2+ca}{c+a}+ \frac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c[/TEX]

 

[nhantd97]

ĐÃ LÀM ĐƯỢC BÀI 4 DO BẠN locxoaymgk LÀM, CÒN BÀI 1, 2, 3 MỌI NGƯỜI CỐ GẮNG LÀM NHÁ
**Nhân đây mình cũng có bài này:
Cho a, b ,c là các số thực dương. CMR:
[TEX]\frac{a^2 +bc}{b+c}+ \frac{b^2+ca}{c+a}+ \frac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c[/TEX]

Sao không ai giúp vậy ... . Các bạn cố gắng làm xong mình post bài khác cho...

 

[nhantd97]

Bài tiếp

1) Cho a, b, c là 3 số thực dương thõa mãn [TEX]a^2+b^2+ c^2=3[/TEX].Tìm giá trị nhỏ nhất :
[TEX]M=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+ \frac{c^5}{a^3+b^2} + a^4 +b^4 +c^4 [/TEX]
2) Cho a, b, c là các số thực dương thõa mãn [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{1}{1+a^2 (b+c)}+ \frac{1}{1+b^2 (c+a)}+ \frac{1}{1+c^2 (a+b)} \leq \frac{1}{abc}[/TEX]
3)Cho a, b ,c là các số thực dương. CMR:
[TEX]\frac{a^2+bc}{b+c}+ \frac{b^2+ca}{c+a}+ \frac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

2) Cho a, b, c là các số thực dương thõa mãn [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{1}{1+a^2 (b+c)}+ \frac{1}{1+b^2 (c+a)}+ \frac{1}{1+c^2 (a+b)} \leq \frac{1}{abc}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+a^2 (b+c)}+ \frac{1}{1+b^2 (c+a)}+ \frac{1}{1+c^2 (a+b)}[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{3a+1-abc}+ \frac{1}{3b+1-abc}+ \frac{1}{3c+1-abc}[/TEX]

[TEX]\leq \frac{1}{3a}+ \frac{1}{3b}+ \frac{1}{3c}[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{abc}[/TEX]

 

[nhantd97]

[TEX]\frac{1}{1+a^2 (b+c)}+ \frac{1}{1+b^2 (c+a)}+ \frac{1}{1+c^2 (a+b)}[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{3a+1-abc}+ \frac{1}{3b+1-abc}+ \frac{1}{3c+1-abc}[/TEX]

Bạn giảng kĩ chỗ này được không, mình không hiểu...