Toán [Toán 9]Chứng minh

[hoanglop7amt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}[/tex] [tex]\geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}[/tex] [tex]\geq \frac{3}{2}[/tex]

Ta có: $\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}$
Tương tự: $\dfrac b{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}2;\dfrac c{1+a^2}\ge c-\dfrac{ac}2$
$\Rightarrow \dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ac}{2}\ge a+b+c-\dfrac{(a+b+c)^2}{6}=\dfrac 32$ (đpcm)
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$