[Toán 9] Chứng minh

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là các số hữu tỉ
Chứng minh: $\sqrt[]{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}}$ là 1 số hữu tỉ

 

[naive_ichi]

Bài này mình sưu tầm được. Bạn thông cảm!

Đặt $X = a - b; Y = b - c; Z = c - a$ \Rightarrow $X + Y + Z = 0$
Với X + Y + Z = 0, ta chứng minh được :
$( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$
Thật vậy, ta có :
$( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + \dfrac{2}{XY} + \dfrac{2}{YZ} + \dfrac{2}{ZX}$
$= \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + 2.\dfrac{X + Y + Z}{XYZ}$
$= \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$ ( do X + Y + Z = 0)
\Rightarrow$ \sqrt{\dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}} = \sqrt{( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2} = |\dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z}|$
Suy ra$ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}} = |\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$
Do a, b, c là số hữu tỷ nên $|\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$ cũng là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh.

 

[soccan]

Hình như đề sai
Ta có
$ \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}$
$=(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a})^2-2(\dfrac{1}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)(b-c)}+\dfrac{1}{(a-b)(c-a)})$
$= (\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a})^2$
Do $a, b, c$ hữu tỉ nên $| \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}|$ hữu tỉ
hay $\sqrt{\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}}$ hữu tỉ $(đpcm)$