[Toán 9] Chứng minh

[thaonguyen25]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ đôi một khác nhau:
Chứng minh rằng :[TEX] $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}[/TEX] là số hữu tỉ

 

[chonhoi110]

Đặt $a-b=x ; b-c=y; c-a=z \Longrightarrow x+y+z=0$

Ta có $(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^2=\dfrac{ ( xy+yz+zx )^{2}}{( xyz)^{2}}$

$=\dfrac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z) }{x^2y^2z^2}=\dfrac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}$ (vì $x+y+z=0$)

$=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$

$\Longrightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}}= |\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}|$

 

[soccan]

Ta có $\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a})^2-2(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a})=\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}$
hay $|\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}|=\sqrt{\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+1\dfrac{1}{(c-a)^2}}(1)$
Do a, b, c là các số hữu tỉ khác nhau đôi một nên (1) là số hữu tỉ