[Toán 9] Chứng minh

[nhuquynhdat]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR nếu $x, y$ thỏa mãn $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1$ thì $x^2+y^2=1$

 

[congchuaanhsang]

CMR nếu $x, y$ thỏa mãn $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1$ thì $x^2+y^2=1$

ĐKXĐ tự tìm =))

Áp dụng $ab$ \leq $\dfrac{a^2+b^2}{2}$ với mọi a,b ta có:

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$ \leq $\dfrac{x^2+1-y^2}{2}+\dfrac{y^2+1-x^2}{2}=1$

Do đó $x=\sqrt{1-y^2}$ và $y=\sqrt{1-x^2}$

\Leftrightarrow $x^2+y^2=1$

 

[eye_smile]

Cách khác:AD Cauchy-Schwarz, có:
$(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})^2 \le (x^2+1-x^2)(1-y^2+y^2)=1$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $xy=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
\Leftrightarrow $x^2+y^2=1$