[toán 9 ] Chứng minh

[bombum96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [TEX]a^3 > 36 [/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX] \frac{a^2}{3} +b^2+c^2> ab+ bc+ ca[/TEX]
2. Chứng minh [TEX] \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} [/TEX] \geq[TEX] \frac{(a+b+c)^2}{9} [/TEX]
3.Chứng minh [TEX] \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a+b+c} \ [/TEX]\geq0 ( với a+b+c [TEX]\not=\ 0[/TEX]

 

[girltoanpro1995]

2. Chứng minh [TEX] \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} [/TEX] \geq[TEX] \frac{(a+b+c)^2}{9} [/TEX]

[TEX] \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} [/TEX] \geq[TEX] \frac{(a+b+c)^2}{9} [/TEX]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow 3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\geq0[/tex]
[tex]\Rightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac \geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-b-c)^2 +a^2+b^2+c^2\geq0[/tex] (đpcm)

 

[sadly.rain]

3.Chứng minh [TEX] \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a+b+c} \ [/TEX]\geq0 ( với a+b+c [TEX]\not=\ 0[/TEX]

Ở đây ta dùng hằng đẳng thức [TEX]A^3 + B^3 = (A+B)^3 - 3AB(A+B)[/TEX]
Ta sẽ có
[TEX]a^3 + b^3 + c^3 - 3abc[/TEX]
[TEX]=(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc[/TEX]
[TEX]=(a+b+c)^3 - 3(a+b)c(a+b+c) - 3ab(a+b+c)[/TEX]
[TEX]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3ac-3bc)[/TEX]
[TEX]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca[/TEX]
Mặt khác, ta có
[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX] (Tự chứng minh bằng Cô-si nhá bạn)
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq ab+bc+ca-ab-bc-ca[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm

 

[nganltt_lc]

1. Cho [TEX]a^3 > 36 [/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX] \frac{a^2}{3} +b^2+c^2> ab+ bc+ ca[/TEX]

Ta có :

[TEX]a^3>36[/TEX][TEX]\Rightarrow a>0[/TEX][TEX]\Rightarrow cb>0[/TEX]

Lại có :

[TEX] a^3 > 36abc[/TEX][TEX]\Leftrightarrow a^2 > 36bc[/TEX]

[TEX]\frac{a^2}{3}>12bc[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{3}+b^2+c^2>12bc+ab+bc+ca[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{3}+b^2+c^2>13bc+ab+ca[/TEX] [TEX](1)[/TEX]

Mặt khác ta có :

13>1

[TEX]\Leftrightarrow 13bc > bc[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 13bc+ab+ac>ac+ab+bc[/TEX] [TEX](2)[/TEX]

Từ (1) và (2) suy ra :

[TEX] \frac{a^2}{3} +b^2+c^2> ab+ bc+ ca[/TEX][TEX](dpcm)[/TEX]