[Toán 9] chứng minh rằng: $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \geq \frac{15}{2}$

[vuhoang97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c > 0 và $21ab + 2bc + 8ac \leq 12$
chứng minh rằng: $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \geq \frac{15}{2}$

@minhtuyb: Đặc biệt chú ý cách dùng ngôn ngữ

 

[kool_boy_98]

Đây là bài toán cơ bản, ta sẽ đặt:
$x=\frac{1}{a},y=\frac{2}{b},z=\frac{3}{c}$ \Rightarrow $x,y,z>0$

Khi đó:
$21ab+2bc+8ac$ \leq $12$ \Leftrightarrow $2x+4y+7z$ \leq $2xyz$

Tacó: $2x+4y+7z$ \leq $2xyz$ \Rightarrow $z$ \geq $\frac{2x+4y}{2xy−7}$

\Rightarrow $x+y+z$ \geq $x+y+\frac{2x+4y}{2xy−7}=x+\frac{11}{2x}+\frac{2xy−7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy−7}$


Áp dụng bđt AM-GM ta có:
$\frac{2xy−7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy−7}$ \geq $2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}$

Do đó:
$x+y+z$ \geq $x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}=f(x)$

$f′(x)=1−\frac{11}{2x^2}−\frac{14}{x^3\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}}$

Dễ thấy rằng $f'(x)$ tăng khi $x$>$0$, và $f'(3)=0$

Suy ra:

$x+y+z$ \geq $f(3)=\frac{15}{2} (dpcm)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{3}$ ; $b=\frac{4}{5}$ ; $c=\frac{3}{2}$
__________________
Chúc bạn học tốt!
Ps: Ăn nói cẩn thận!