[Toán 9] Chứng minh Một bài tóan

[mylinh998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A), trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM=CN. Gọi E là trung điểm của MN, tia DE cắt CB tại F, DM cắt CB tại K. Qua M vẽ đuog thẳng song song vs AD cắt DF tại H. CMR:
.
1) MFNH là hìh thoi
.
2) [TEX]ND^2 = NB.NF[/TEX]
.
3) [TEX]\frac{1}{DM^2}+ \frac{1}{DK^2}[/TEX] có giá trị không đổi khi M thay đổi trên
AB

 

[kieuquocdat123]

a) Tam giác AMD=Tam giác CND (c.g.c)
\Rightarrow DM=DN
Xét tam giác DMN cân tại D có E là trung điểm MN
\Rightarrow DE vuông góc MN (1)
Ta lại có MH song song FN \Rightarrow HME=FNE
\Rightarrow Tam giác EMH=Tam giác ENF (g.c.g)
\Rightarrow EH=EF (2)
Từ (1),(2) kết hợp với EM=EN \Rightarrow tứ giác MFNH là hình thoi (đpcm)

 

[kieuquocdat123]

b)
Tam giác AMD=Tam giác CND (c.g.c)
\Rightarrow ADM=CDN
\Rightarrow ADM+MDC=CDN+MDC
\Rightarrow MDN=ADC=90 độ
Xét tam giác DMN cân tại D có E là trung điểm MN
\Rightarrow EDN=45 độ
Hay FDN=45 độ \Rightarrow FDN=DBN
\Rightarrow Tam giác NDF đồng dạng tam giác NBD (g.g)
\Rightarrow [TEX]\frac{ND}{NF}=\frac{NB}{ND}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]ND^2=NB.NF[/TEX]

 

[kieuquocdat123]

c)
Ta có [TEX]\frac{1}{DM^2}+\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DN^2}+\frac{1}{DK^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{DN^2}+\frac{1}{DK^2}=\frac{DN^2+DK^2}{DN^2.DK^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{DN^2}+\frac{1}{DK^2}=\frac{KN^2}{DN^2.DK^2}[/TEX](1)

Ta có KN.CD=DK.DN (=1/2.diện tích tam giác KDN)
\Rightarrow [TEX]KN^2.CD^2=DK^2.DN^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{KN^2}{DN^2.DK^2}=CD^2[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow [TEX]\frac{1}{DN^2}+\frac{1}{DK^2}=CD^2[/TEX]
Hay [TEX]\frac{1}{DM^2}+\frac{1}{DK^2}=CD^2[/TEX] (không đổi)
\Rightarrow đpcm