[Toán 9] Chứng minh $m.n.(m^{30} + n^{30})$ chia hết cho 14322

[nguyenminhha3000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho m, n thuộc Z. Chứng minh $m.n.(m^{30} + n^{30})$ chia hết cho 14322.Biết m và n chia hết cho 3

 

[mamatoo]

Đầu bài có vấn đề bạn à, nếu cho m, n không chia hết cho 3 thì ta sẽ không có điều cần chứng minh

 

[hthtb22]

Thấy $14322=2.3.7.11.31$
Ta sẽ lần lượt chứng minh: $A=mn(m^{30}-n^{30})$ chia hết cho $2;3;7;11;31$ bằng định lý Fecma nhỏ
Trước hết ta nêu lên định lý Fecma: $a^{p-1}-1 \vdots p$
Với p là số nguyên tố.
Áp dụng
$m^{30}-1\vdots 31$
$n^{30}-1 \vdots 31$
Nên $m^{30}-n^{30} \vdots 31$
Nên $A \vdots 31$
Tương tự :
$A \vdots 11$
$A \vdots 7$
$A \vdots 3$
(Vì 30=2.3.5)

Ta có :
+ Trong 2 số là số chẵn thì $mn \vdots 2$
\Rightarrow $A \vdots 2$
+ Cả 2 số đều là số lẻ thì
$m^{30}-n^{30} \vdots 2$
\Rightarrow $A \vdots 2$

Bài toán được chứng minh.