[Toán 9]- Chứng minh: $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{4}{3AB^2}$

[dotuananh2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình thoi $ABCD$ có góc $A=120^{\circ}$. Tia $Ax$ tạo với tia $AB$ 1 góc $\widehat{BAx}=15^{\circ}$ và cắt cạnh $BC$ tại $M$, cắt $CD$ tại $N$.
Chứng minh rằng: $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{4}{3AB^2}$.

 

[nhuquynhdat]

Hình tự kẻ

Kẻ $AE \perp AN \Longrightarrow \widehat{EAN}=90^o \Longrightarrow \widehat{DAE}=15^o$

$AB=AD$ (cạnh hình thoi); $ \widehat{B}=\widehat{D}$ (góc đối hình thoi)

$\Longrightarrow \Delta ADE=\Delta ABM(g-c-g) \Longrightarrow AE=AM$

Kẻ $AH \perp DC \Longrightarrow \Delta ADH$ vuông tại H $\Longrightarrow DH=\dfrac{1}{2}AD$ (cạnh góc vuông đối diện với góc 30 độ)

$\Delta AEN$ vuôgn tại A, có $AH \perp EN(gt) \Longrightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AN^2}$

$\Longrightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}$ (*)

$\Delta ADH$ vuông tại H có:

$AH^2+HD^2=AD^2 \Longrightarrow AH^2=AD^2-HD^2=AD^2-\dfrac{1}{4}AD^2$

$\Longrightarrow AH^2=\dfrac{3}{4}AD^2 \Longrightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{4}{3}AB^2$ (*) (*)

Từ (*) và (*) (*) $\Longrightarrow \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3}AB^2$