[Toán 9] Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc 3

[binhminhmc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ các anh chị giúp mình bài này:
Chứng minh rằng: nếu có
[tex] \sqrt[3]{a}+ \sqrt[3]{b}+ \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{a+b+c}[/tex]
Thì với mọi n nguyên dương đều có:
[tex] \sqrt[n]{a}+ \sqrt[n]{b}+ \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a+b+c}[/tex]


Cám ơn các anh, chị!

@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề

 

[trinhminh18]

Đặt $\sqrt[3]{a}=x$;$\sqrt[3]{b}=y$;$\sqrt[3]{c}=z$
\Rightarrow$a=x^3$; $b=y^3$; $c=z^3$
Ta có:
$x+y+z=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$
\Rightarrow$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3$
\Rightarrow$(x+y+z)^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$
\Rightarrow$(x+y+z)^3=(x+y+z)^3-3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y)$
\Rightarrow$3(x+y)z(x+y+z)+3xy(x+y)=0$
\Rightarrow$(x+y)(zx+zy+z^2+xy)=0$
\Rightarrow$(x+y)(y+z)(z+x)=0$
\Rightarrow$x=-y$;$y=-z$ hoặc $z=-x$
+ Với $x=-y$
\Rightarrow$\sqrt[3]{a}=-\sqrt[3]{b}$
\Rightarrow$a=-b$
\Rightarrow$\sqrt[n]{a+b+c}=\sqrt[n]{c}$
Và$\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{c}=\sqrt[n]{c}$
C/m tương tự vs 2 trường hợp còn lại \RightarrowĐiều phải c/m
Nhưng theo mình nghĩ thì dường như ở đây vẫn thiếu đề; đề đúng phải là vs mọi n là số nguyên dương lẻ, vì nếu n chẵn thì ko thể xảy ra đề bài như trên