[Toán 9]Chứng minh chia hết

[lenhomanhpro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x).
CMR: M=[tex](x-y)^3+(y-x)^3+(z-x)^3[/tex] chia hết cho 81.

 

[thaolovely1412]

đội 4

Ta có:[TEX] x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x) (1) [/TEX]
Xét 3 trường hợp sau:
* Nếu 3 số x , y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3
[TEX]\Rightarrow x-y \not{\vdots} 3 ; y-z \not{\vdots} 3 ; z-x \not{\vdots} 3 \Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \not{\vdots} 3[/TEX]
Mà [TEX]x + y + z \vdots 3 [/TEX]. Từ (1) \Rightarrow mâu thuẫn.
* Nếu trong 3 số x,y,z có 2 số chia cho 3 có cùng số dư
\Rightarrow [tex]\left[\begin{x-y \vdots 3 }\\{y-z \vdots 3 }\\{z-x \vdots 3 } [/tex]
\Rightarrow [TEX]\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \vdots 3[/TEX]
mà [TEX]x+y+z \not{\vdots} 3[/TEX] . Từ (1) \Rightarrow mâu thuẫn.
Do đó: x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3.
\Rightarrow [TEX](x-y)(y-z)(z-x) \vdots 27[/TEX]
đặt [TEX]a = x-y; b = y-z; c = z-x \Rightarrow a+b+c = 0[/TEX] và [TEX]abc \vdots 27[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX] [TEX] \vdots 3.27 = 81[/TEX]