[Toan 9]Chứng minh BĐT

[thungan6a4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR:
$\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{a^3}{b^3}+b^3 $\geq $\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b}+b$

 

[leminhnghia1]

bđt

Theo bđt Cô-si ta có:

[TEX]\frac{1}{a^3}+1+1 \ \geq \ 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}}=\frac{3}{a}[/TEX]

CMTT: [TEX]\frac{a^3}{b^3}+1+1 \ \geq \ \frac{3a}{b} \ ; \ b^3+1+1 \ \geq \ 3b[/TEX]

Cộng vế các bđt ta đc: [TEX]\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3+6 \ \geq \ \frac{3}{a}+\frac{3a}{b}+3b[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3 \ \geq \ \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b+(\frac{2}{a}+\frac{2a}{b}+2b-6.)[/TEX]
Theo bđt Cô-si ta có:

[TEX]\frac{2}{a}+\frac{2a}{b}+2b \ \geq \ 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{2a}{b}.2b}=6[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ \frac{2}{a}+\frac{2a}{b}+2b-6 \ \geq \ 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3 \ \geq \ \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b[/TEX] (đpcm)