[Toán 9] Chứng minh BDT

[nhahangtuan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 7 : Cho a , b, c > 0 và thoả mãn : $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$.Chứng minh rằng : $$4 \le \frac{{a + b}}{{2a - b}} + \frac{{c + b}}{{2c - b}}$$

Bài 9:
Giải hệ pt : $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x + \frac{1}{y}(1 + \frac{1}{y}) = 4\\
{x^3} + \frac{x}{{{y^2}}} + \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{1}{{{y^3}}} = 4
\end{array} \right.$$

 

[chaizo1234567]

cau he

dat $x+\frac{1}{y}=a$
$\frac{x}{y}=b$
\RightarrowTa có hệ PT

$a^2+a-2b=4$

và $ab+{a+b}{a^2-3b}=4$

den day giai he PT ta nhan a=2;b=1
vay nghiệm của hệ la:
(1:1)

 

[ronaldover7]

bài 7 : Cho a , b, c > 0 và thoả mãn : $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$.Chứng minh rằng : $$4 \le \frac{{a + b}}{{2a - b}} + \frac{{c + b}}{{2c - b}}$$​

$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ \Rightarrow$b=\frac{2ac}{a+c}$
Ta có: $A=\frac{{a + b}}{{2a - b}} + \frac{{c + b}}{{2c - b}}$
\Rightarrow $2A=\frac{{2a + 2b}}{{2a - b}} + \frac{{2c +2 b}}{{2c - b}}$
\Rightarrow $2A-2=\frac{{2a + 2b}}{{2a - b}}-1 + \frac{{2c +2 b}}{{2c - b}}-1$
\Rightarrow $2A-2=\frac{{3b}}{{2a - b}} + \frac{{3b}}{{2c - b}}$
\Rightarrow $2A-2=3b(\frac{{1}}{{2a - b}} + \frac{{1}}{{2c - b}})$
Lại có $2a - b=2a-\frac{2ac}{a+c}=\frac{2a^2}{a+c}$
\Rightarrow $\frac{{1}}{{2a - b}} = \frac{a+c}{2a^2}$
CMTT $ \frac{{1}}{{2c - b}}=\frac{a+c}{2c^2}$
\Rightarrow $\frac{{1}}{{2a - b}} + \frac{{1}}{{2c - b}}=(a+c) [\frac{a+c}{2a^2}+\frac{a+c}{2c^2}]$
\Rightarrow $2A-2=3b(\frac{{1}}{{2a - b}} + \frac{{1}}{{2c - b}})$
=$3.\frac{2ac}{a+c}. [\frac{a+c}{2a^2}+\frac{a+c}{2c^2}]$
=3ac ($\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}$)
=3($\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$ \geq 6
\Rightarrow 2A \geq 8 \Rightarrow A \geq 4

 

[eye_smile]

7,Cách khác: Tại đây:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=366969