toán 9] chứng minh bdt

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c > 0. CM:
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{9(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2} \ge 12$

 

[chonhoi110]

Ta có 2 bđt ngược chiều $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}\ge 3 ;\dfrac{9(ab+bc+ac)}{a^2+ b^2+c^2} \le 9$

Sử dụng $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ và $AM-GM$ ta có
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}$

$=3+\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}$

$=3+(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca})(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\ge 3+\dfrac{9(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{ab+bc+ac}$

$=3+\dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-9=\dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-6$

Vậy bđt ban đầu $\leftrightarrow \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-6+ \dfrac{9(ab+bc+ac)}{a^2+ b^2+c^2}\ge 12$

Hay $ \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+ \dfrac{ab+bc+ac}{a^2+ b^2+c^2}\ge 2$ (dễ dàng cm được)