[Toán 9] chứng minh bdt

[muttay04]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x\geq y\geq 0 Chứng minh rằng
$$\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} \le \frac{1}{8}.\frac{{(x - y)^2 }}{y}$$


:khi (164)::khi (164)::khi (164):

 

[muttay04]

vì x\geqy nên căn bậc hai của x \geq căn bậc hai của y \Rightarrow căn bậc hai của x + căn bậc hai của y\geq2*căn bậc hai của y\Rightarrow( căn bậc hai của x + căn bậc hai của y)^2\geq4*y\Rightarrow
VP = 1/8*(căn bậc hai của x+căn bậc hai của y)^2*(căn bậc hai của x-căn bậc hai của y)^2/y\leq1/8y*4y*(căn bậc hai của x-căn bậc hai của y)^2=(căn bậc hai của x-căn bậc hai của y)^2/2=VT\Rightarrow ĐPCM

bạn viết latex hộ mình được không dùng mathtype ấy

 

[congchuaanhsang]

Đặt $\sqrt{x}=a$ ; $\sqrt{y}=b$ (a,b\geq0)\Rightarrowa\geqb

VT=$\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}$=$\dfrac{(a-b)^2}{2}$

VP=$\dfrac{(a^2-b^2)^2}{8b^2}$=$\dfrac{(a+b)^2(a-b)^2}{8b^2}$

Ta phải cm $\dfrac{(a-b)^2}{2}$\leq$\dfrac{(a+b)^2(a-b)^2}{8b^2}$

\Leftrightarrow$\dfrac{1}{2}$\leq$\dfrac{(a+b)^2}{8b^2}$

\Leftrightarrow$8b^2$\leq$2(a+b)^2$\Leftrightarrow$8b^2$\leq$2a^2+4ab+2b^2$

\Leftrightarrow$2a^2+4ab-6b^2$\geq0\Leftrightarrow$2(a-b(a+3b)$\geq0

\Leftrightarrowa\geqb (luôn đúng)

Vậy bđt được cm