[Toán 9] Chứng minh BĐT với điều kiện ràng buộc của biến

[nguyenthokhang98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a, x, y > 0. CMR
[TEX]\frac{a}{sqrt{xy}} \le \frac{1}{2}(\frac{a}{x} + \frac{a}{y})[/TEX]

2. Cho a, b, c > 0 và [TEX]a + b + c \le sqrt{3}[/TEX]. CMR
[TEX]\frac{a}{sqrt{a^2+1}} + \frac{b}{sqrt{b^2+1}} +\frac{c}{sqrt{c^2+1}} \le \frac{3}{2}[/TEX]

Ai giúp hộ em được bài 2 thì tốt (bài 1 là gợi ý để làm bài 2)
Em cảm ơn!

 

[th1104]

Bài 1:

Áp dụng Cosi luôn:

[TEX]\frac{a}{x}+\frac{a}{y} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{xy}} = 2\frac{a}{\sqrt{xy}}[/TEX]

\Rightarrow đpcm

Bài 2
mà áp dụng bài 1 thì mình nghĩ bạn xem lại đề hộ mình

Xem đề có phải là cho a, b,c > 0 và ab+bc +ca = 1 . CMR

[TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2 +1}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 +1}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 +1}} \leq \frac{3}{2}[/TEX].

 

[bosjeunhan]

Bài 2
mà áp dụng bài 1 thì mình nghĩ bạn xem lại đề hộ mình

Xem đề có phải là cho a, b,c > 0 và ab+bc +ca = 1 . CMR

[TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2 +1}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 +1}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 +1}} \leq \frac{3}{2}[/TEX].

Bài 2:đề phải cho là $a+b+c \le 3$

$\sum \dfrac a{\sqrt{a^2+1}} \le\sum \dfrac a{\sqrt{2a}}=\sum \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt2}$

$3 \ge a+b+c \ge \dfrac{(\sum \sqrt a)^2}3$

$\Leftrightarrow 3 \ge \sum \sqrt a$

$\Leftrightarrow \dfrac 32 \ge \dfrac {\sum \sqrt a}2$

$\Rightarrow$ đpcm

 

[nguyenthokhang98]

@bosjeunhan: không phải là a + b + c [TEX]\le[/TEX] 3 đâu bạn à
Chẳng hạn a = b = c = 1 thì [TEX]VT = \frac{3}{sqrt2} > \frac{3}{2} = VP[/TEX]
Đề của mình đúng đấy, có thể là áp dụng bài 1 theo một cách khác thôi. Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a = b = c = \frac{sqrt3}{3}[/TEX]