[Toán 9] Chứng minh bất đẳng thức

[tuoigiathichchaynhay@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $ a,b,c,d \geq 0 $ chứng minh rằng
$$ A = \frac{b(a+c)}{c(a+b)} + \frac{c(b+d)}{d(b+c)} + \frac{d(a+c)}{a(c+d)} + \frac{a(b+d)}{b(d+a)} \geq 4 $$

 

[boy_100]

em xem lại mấy cái tử số nhé
Anh nghĩ bài này dùng BDT Cosi nhưng trên tử hơn vướng em xem lại đề nhé.

 

[huynhbachkhoa23]

$VT=(a+c)\left [\dfrac{b}{c(a+b)}+\dfrac{d}{a(c+d)} \right]+(b+d)\left[\dfrac{c}{d(b+c)}+\dfrac{a}{b(d+a)} \right]=(a+c)\left[\dfrac{ab(c+d)+cd(a+b)}{ac(a+b)(c+d)} \right]+(b+d)\left[\dfrac{bc(d+a)+ad(b+c)}{bd(b+c)(d+a)} \right]$
$=(abc+abd+acd+bcd)\left [\dfrac{a+c}{ac(a+b)(c+d)}+\dfrac{b+d}{bd(b+c)(d+a)} \right]=\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} \right)\left[\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} \right)}+\dfrac{ \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}}{\left(\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c} \right)\left(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{a} \right)} \right]$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu số là xong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=c;b=d$