[Toán 9] Chứng minh bất đẳng thức

[solydxk]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: [tex]\forall a,b,c > 0;a + b + c = 3[/tex] thì:
[tex]\frac{1}{{{a^2} + b + c}} + \frac{1}{{{b^2} + c + a}} + \frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le 1[/tex]

 

[mrza]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + b + c \ge a + b + c\\
{b^2} + c + a \ge b + c + a\\
{c^2} + a + b \ge c + a + b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{a^2} + b + c}} \le \frac{1}{{a + b + c}}\\
\frac{1}{{{b^2} + c + a}} \le \frac{1}{{b + c + a}}\\
\frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le \frac{1}{{c + a + b}}
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{{a^2} + b + c}} + \frac{1}{{{b^2} + c + a}} + \frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le \frac{1}{{a + b + c}} + \frac{1}{{b + c + a}} + \frac{1}{{c + a + b}} = 1\\
(a + b + c = 3)
\end{array}\]
Dấu "=" xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = a;{b^2} = b;{c^2} = c\\
a + b + c = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}\]
@congchua: Bài này sai nhé bạn

 

[congchuaanhsang]

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$(a^2+b+c)(1+b+c)$ \geq $(a+b+c)^2$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{a^2+b+c}$ \leq $\dfrac{1+b+c}{(a+b+c)^2}$

Tương tự rồi cộng lại được:

VT \leq $\dfrac{3+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}=1$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=1$

 

[solydxk]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + b + c \ge a + b + c\\
{b^2} + c + a \ge b + c + a\\
{c^2} + a + b \ge c + a + b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{a^2} + b + c}} \le \frac{1}{{a + b + c}}\\
\frac{1}{{{b^2} + c + a}} \le \frac{1}{{b + c + a}}\\
\frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le \frac{1}{{c + a + b}}
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{{a^2} + b + c}} + \frac{1}{{{b^2} + c + a}} + \frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le \frac{1}{{a + b + c}} + \frac{1}{{b + c + a}} + \frac{1}{{c + a + b}} = 1\\
(a + b + c = 3)
\end{array}\]
Dấu "=" xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = a;{b^2} = b;{c^2} = c\\
a + b + c = 3
\end{array} \right.\]
$ \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$
@congchua: Bài này sai nhé bạn

Sai ở chỗ dấu bằng xảy ra, mình nhầm a + b + c = 1 nên mới ra như thế, đúng là a = b = c = 1 như bạn. Tuy cách làm của mình không hay nhưng miễn ra đc kq là mình vui rồi

Giải thích thêm:

Ta luôn có bất đẳng thức sau:
$(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2) = 3(a+b+c)$
Mà ở đây dấu bằng xảy ra nên a = b = c = 1.

 

[solydxk]

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$(a^2+b+c)(1+b+c)$ \geq $(a+b+c)^2$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{a^2+b+c}$ \leq $\dfrac{1+b+c}{(a+b+c)^2}$

Tương tự rồi cộng lại được:

VT \leq $\dfrac{3+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}=1$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=1$

Mình không hiểu, nhờ đâu mà bạn biết để chọn áp dụng bất đẳng thức BCS với bộ số đó? Mình xin lỗi vì mình chỉ mới học cách chứng minh 1 bất đẳng thức thôi nên cũng chẳng hề có tí xíu kinh nghiệm gì! Nhờ kinh nghiệm, nhờ đọc nhiều hay nhờ suy luận? Chỉ mình với!

@braga: BĐT $Cauchy-Schwarz: \ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (ax+by+cz)^2$

 

[congchuaanhsang]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + b + c \ge a + b + c\\
{b^2} + c + a \ge b + c + a\\
{c^2} + a + b \ge c + a + b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{a^2} + b + c}} \le \frac{1}{{a + b + c}}\\
\frac{1}{{{b^2} + c + a}} \le \frac{1}{{b + c + a}}\\
\frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le \frac{1}{{c + a + b}}
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{{a^2} + b + c}} + \frac{1}{{{b^2} + c + a}} + \frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le \frac{1}{{a + b + c}} + \frac{1}{{b + c + a}} + \frac{1}{{c + a + b}} = 1\\
(a + b + c = 3)
\end{array}\]
Dấu "=" xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = a;{b^2} = b;{c^2} = c\\
a + b + c = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}\]
@congchua: Bài này sai nhé bạn

Sai ở chỗ màu đỏ

Chưa thể biết a>1 hay a<1 nên không thể so sánh $a^2$ với a như vậy được