[Toán 9] Chứng minh bất đẳng thức

[depvazoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của một tam giác có diện tích là S. CMR:
a) $a^2+b^2+c^2 \ge 4S\sqrt{3}$
b) $\dfrac{1}{a+b-c} + \dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b} \ge \dfrac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$
2. Cho 3 số tự nhiên $a<b<c$. CMR: với mọi số tự nhiên d (d>a) thì $a^d+b^d<c^d$
3. C/m: $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}} < \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$ (với a>0)
4. CMR: trong mọi tam giác có chu vi bằng nhau cho trước thì tam giác đều có diện tích lớn nhất.

 

[eye_smile]

1a,Ta có:
$4S\sqrt{3}=4\sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}$ \leq $\sqrt{3(a+b+c)abc}$ \leq $\sqrt{3(a+b+c).{(\dfrac{a+b+c}{3})^3}}=\dfrac{{(a+b+c)^2}}{3}$ \leq ${a^2}+{b^2}+{c^2}$

 

[eye_smile]

3.Có thể cm theo quy nạp. Gọi n là số dấu căn
Đặt $x_n=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}}$
Với n=1 thì (*)-đpcm trở thành: $\sqrt{a}=\dfrac{\sqrt{4a}}{2}<\dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
+/Giả sử (*) đúng với n=k (k \geq 1; k thuộc N), tức là:
$x_k<\dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Ta cần cm (*) đúng với n=k+1 hay cm $x_{k+1}<\dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Thật vậy: $x_{k+1}=\sqrt{a+x_k}<\sqrt{a+\dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}}=\sqrt{\dfrac{4a+1+2\sqrt{4a+1}+1}{4}}=\sqrt{{(\dfrac{\sqrt{4a+1}+1}{2})^2}}=\dfrac{\sqrt{4a+1}+1}{2}$

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

4.Ta có:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}{16}}$......
(như bài 1 trên)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c
Hay tam giác đó đều

 

[congchuaanhsang]

1b, Đặt $b+c-a=x$ ; $c+a-b=y$ ; $a+b-c=z$

Theo Cauchy: $x+y+z$\geq$3\sqrt[3]{xyz}$ ; $xy+yz+xz$\geq$3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nên $(xy+yz+xz)\sqrt[4]{x+y+z}$\geq$3\sqrt[4]{3(xyz)^3}$

\Leftrightarrow$\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}$\geq$\dfrac{3\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{xyz(x+y+z)}}$

\Leftrightarrow$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$\geq$\dfrac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$ (Theo hệ thức Hê-rông)

\Leftrightarrowđpcm