[toán 9] chứng minh bất đẳng thức

[sonhayen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x, y không âm thỏa mãn [TEX]x^3+y^3=2[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]x^2+y^2\leq2[/TEX]
bài này khó quá mình làm mãi không ra mong các bạn chỉ hộ với!!!

 

[khaiviptoan]

Dễ mà
x, y \geq 0 thì x^2 + y^2 \leq x^3 + y^3
Mà x^3 + y^3 =2 \Rightarrow x^2 + y^2 \leq 2
Xem lại cách giải~~
Với $x;y$ \geq 0 thì khẳng định ${x^2}+{y^2}$\leq${x^3}+{y^3}$ chưa đúng

 

[riverflowsinyou1]

$x^{3}$+$y^{3}$=2
Xét x>0 thì $x^3$>$x^2$;$y^3$>$y^2$ => $x^2$+$y^2$ bé hơn hoặc bằng 2 ( dấu "=" xảy ra chỉ khi x=y=1)
Xét x<0 thì $y^3$<$y^2$;$x^3$<$x^2$ mà $x^3$<2;$y^3$<2 => |x|;|y|<2 chỉ xảy ra trường hợp đó
=> $x^2$+$y^2$<2
( Chú ý: Lời giải của em chưa hoàn chỉnh em sẽ sửa lại sau đây là tạm thời)

 

[eye_smile]

AD Cauchy-Schwarz, có:
${({x^2}+{y^2})^2}­$ \leq $(x+y)({x^3}+{y^3})=2(x+y)$
${(x+y)^2}$ \leq $2({x^2}+{y^2})$
\Rightarrow ${({x^2}+{y^2})^4}$ \leq $4{(x+y)^2}$ \leq $8({x^2}+{y^2})$
hay ${({x^2}+{y^2})^3}$ \leq $8$
Suy ra đpcm

 

[soicon_boy_9x]

Cách khác

$x^3+x^3+1 \geq 3x^2$

$y^3+y^3+1 \geq 3y^2$

Cộng từng vế ta có $6 \geq 3x^2+3y^2 \leftrightarrow dpcm$

 

[congchuaanhsang]

Cách khác

Cauchy - Schwarz: $x^3+y^3=\dfrac{x^4}{x}+\dfrac{y^4}{y}$\geq$\dfrac{(x^2+y^2)^2}{x+y}$

Kết hợp $x+y$\leq$\sqrt{2(x^2+y^2)}$ \Rightarrow đpcm

 

[braga]

Cách nữa cho đẹp:
Đơn giản là $Holder:$
$(1+1+1)(x^3+y^3+1)(x^3+y^3+1)\ge (x^2+y^2+1)^3\implies x^2+y^2\le 2$