[toán 9] Chứng minh bất đẳng thức

S

soicon_boy_9x

$\dfrac{1}{2x+y+z} \leq \dfrac{1}{4(x+y)}+\dfrac{1}{4(x+z)} \leq \dfrac{1}{8x}+\dfrac{1}{16y}+\dfrac{1}{16z}$

Tương tự rồi cộng lại là ra
 
D

drmssi

[TEX]\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})[/TEX]
Tương tự [TEX]\Rightarrow VT \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x+y}\leq\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT\leq 1(dpcm)[/TEX]
Dấu"="xảy ra[TEX]:\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}[/TEX]
 
T

tranvanhung7997

Ta có BĐT Cô Si cơ bản tổng quát: $a_1; a_2; a_3; .....; a_n$ dương
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3}+.......+ \frac{1}{a_n} \ge \frac{n^2}{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_n}$
Áp dụng BĐT Cô Si cơ bản cho 4 số:
$\frac{16}{2x+y+z} =\frac{16}{x+x+y+z} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$
Tương tự, ta được: $\frac{16}{x+2y+z} \le \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z}$
$\frac{16}{x+y+2z} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{2}{z}$
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được:
$16.(\frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+2y+z}) \le 4.(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 4.4 =16$
$<=> \frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+y+2z} \le 1 =>$đpcm
Dấu "=" có $<=> x = y = z = 3$
 
I

irvine_1997

Ở đâu CM BĐT, ở đó có TranVanHung7997 =)) Mỗi lần ghé vào các chủ đề liên quan đến BĐT là thấy bạn. Xem ra chuyên môn của bạn là BĐT phải hok ?
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom