[Toán 9] chứng minh bất đẳng thức [hay]

[ditruyen_tebao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề đây cả nhà :
1.cho a,b> 0 và [TEX]a^2 + b^2 =6[/TEX]
c/m : [TEX]\sqrt{3(a^2+b^2)} \geq (a+b) \sqrt{2}[/TEX]
2.Giải phương trình nghiệm nguyên.
[TEX]x^2 + xy -2008x - 2009 y -2010 =0[/TEX]
3.cho các số x,y,z >0 và[TEX] \sqrt{x} + \sqrt{y}+\sqrt{z} =1[/TEX]
Tính giái trị nhỏ nhất biểu thức :[TEX]M = \frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}}[/TEX]

 

[bboy114crew]

3.
Ta có:[TEX]\left(\frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}}\right)^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+2(x\sqrt{\frac{y}{z}}+ y\sqrt{\frac{z}{x}}+z\sqrt{\frac{x}{y}})[/TEX]
Áp dụng BDT AM-GM ta có:
[TEX]\frac{x^2}{y}+x\sqrt{\frac{y}{z}}+x\sqrt{\frac{y}{z}}+z \ge 4x[/TEX]
Thêm 2 cái tương tự cộng vào suy ra:
[TEX]\left(\frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}}\right)^2 \ge 3(x+y+z) \geq (\sum \sqrt{x})^2=1 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}} \geq 1[/TEX]

 

[asroma11235]

3.
Ta có:[TEX]\left(\frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}}\right)^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+2(x\sqrt{\frac{y}{z}}+ y\sqrt{\frac{z}{x}}+z\sqrt{\frac{x}{y}})[/TEX]
Áp dụng BDT AM-GM ta có:
[TEX]\frac{x^2}{y}+x\sqrt{\frac{y}{z}}+x\sqrt{\frac{y}{z}}+z \ge 4x[/TEX]
Thêm 2 cái tương tự cộng vào suy ra:
[TEX]\left(\frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}}\right)^2 \ge 3(x+y+z) =3 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}} \geq \sqrt{3}[/TEX]

Ta còn làm được theo AM-GM trực tiếp:
[TEX]\sum \frac{x}{\sqrt{y}} \geq 2 \sum \sqrt{x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{y}} \geq 2 \sum \sqrt{x} - \sum \sqrt{x}=1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX] \Leftrightarrow x=y=z= 1/9.[/TEX]

@asroma: Đẳng thức xảy ra khi nào vậy cậu?

 

[bboy114crew]

Ta còn làm được theo AM-GM trực tiếp:
[TEX]\sum \frac{x}{\sqrt{y}} \geq 2 \sum \sqrt{x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{y}} \geq 2 \sum \sqrt{x} - \sum \sqrt{x}=1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX] \Leftrightarrow x=y=z= 1/9.[/TEX]

Lỗi kĩ thuật chút à!
Tớ hơi ẩu cám ơn cậu đã chỉ ra chỗ sai!

 

[son9701]

Chém bài nghiệm nguyên:
[TEX]x^2+xy-2008x-2009y-2010=0\Leftrightarrow y(2009-x)=x^2-2008x-2010[/TEX]
Tới đây dùng phép chia đa thức là ra:
[TEX]y=\frac{x(x-2009)+(x-2009)-1}{2009-x}=x+1-\frac{1}{2009-x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2009-x=1;-1\Rightarrow x=2008;x=2010[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x;y)=(2008;2008);(2010;2012)[/TEX]