[toán 9]chứng minh a là số nguyên

[hellangel98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho phương trình $x^2$-4x+1=0
gọi $x_1$,$x_2$ là 2 nghiệm của phương trình

đặt $a_n$=$\dfrac{x_1^n-x_2^n}{2\sqrt{3}}$ với n=1,2,3,.....
chứng minh rằng $a_n$ là 1 số nguyên với mọi n=1,2,3,...

 

[vy000]

$+)n=1...$

$+)n \ge 2$

Theo định lý Viet:

$\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=1\end{cases}$

$\Rightarrow (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=12$

$\Leftrightarrow |x_1-x_2|=2\sqrt3$

$\Rightarrow |A|=x_1^{n-1}+x_1^{n-2}x_2+...+x_1x_2^{n-2}+x_2^{n-1}$

Để A nguyên ta chỉ cần chứng minh mọi số dạng $x_1^m+x_2^m \in \mathbb{Z}$

Ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=4 \in \mathbb{Z}\\x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=14 \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Giả sử $\begin{cases}x_1^k +x_2^k \in \mathbb{Z}\\x_2^{k-1}+x_2^{k-1}\in \mathbb{Z} \end{cases}(k \ge 2;k\in \mathbb{Z})$

$\Rightarrow x_1^{k+1}+x_2^{k+1}=(x_1+x_2)(x_1^k+x_2^k)-x_1x_2(x_2^{k-1}+x_2^{k-1}) \in \mathbb{Z}$