[Toán 9] Cho $x,y>0; x^3+y^3=x-y$. CMR: $x^2+y^2<1$

[0309ohyeah]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y>0; x^3+y^3=x-y$. CMR: $x^2+y^2<1$


các bạn làm giùm nha!!! tối mai nộp rùi!! tks nhiều

@minhtuyb: Chú ý cách đặt tên tiêu đề

 

[hthtb22]

Từ giả thiết \Rightarrow x-y>0 (do x,y>0)
\Rightarrowxy(x-y)+2y^3>0
\Rightarrow(x^2+y^2)(x-y)>x^3+y^3
\Rightarrowđpcm

 

[star_music]

Áp dụng BDT Cauchy 2 số,Ta có:

$$x^3+x \ge 2x^2$$
$$y^3+y \ge 2y^2$$

Suy ra:$$x^3+y^3+x+y \ge 2(x^2+y^2)$$
$$--> x-y+x+y \ge 2(x^2+y^2)$$
$$<--> x \ge x^2+y^2$$ Từ đó x > $x^2$ vì nếu $x=x^2$ thì y=0 trái với điều kiện $y>0$
Do đó $x<1$ Vậy ta có ĐPCM

 

[coganghoctapthatgioi]

Ta có: [TEX](x-y)(x^2+y^2)=x^3+xy^2-yx^2-y^3[/TEX]
Nên [TEX]x^3+y^3-(x-y)(x^2+y^2)=2y^3+yx^2-xy^2[/TEX](1)
Ta có: [TEX]2y^3+yx^2-xy^2[/TEX]=[TEX]y^3+y(y^2+x^2-xy)[/TEX] > 0 vì y>0 và [TEX]x^2+y^2-xy[/TEX]>0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: [TEX]x^3+y^3[/TEX]> [TEX](x-y)(x^2+y^2)[/TEX] \Rightarrow [TEX]x^2+y^2[/TEX] <1