[Toán 9] Cho $\frac{(a+1)}{b} + \frac{(b+1)}{a}$ là 1 số nguyên

[hoanghontimtimtim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử a, b là các số nguyên dương sao cho [TEX]\frac{(a+1)}{b} + \frac{(b+1)}{a}[/TEX] là 1 số nguyên. Gọi d là ước số chung của a và b. Chứng minh rằng:[TEX] d \leq \sqrt{a+b} [/TEX]

Mình vẫn chưa biết gõ CT toán học ở đây, thông cảm cho mình nhé!
^-^ Bosjeunhan-- Chú ý cách gõ latex

 

[agito000]

Cách giải cực dễ luôn
[tex]\frac{a+1}{b}[/tex]+[tex]\frac{b+1}{a}[/tex] nguyên(*)
\Leftrightarrow[tex]\frac{a^2+a+b^2+b}{ab}[/tex] nguyên
\Leftrightarrow [tex]a^2+a+b^2+b[/tex] chia hết cho ab
\Rightarrow [tex]a^2+a[/tex] chia hết cho b
[tex]b^2+b[/tex] chia hết cho a
\Leftrightarrow a(a+1) chia hết cho b(1)
b(b+1) chia hết cho a(2)
từ (1) \Rightarrow a chia hết cho b\Rightarrowa\geqb
hoặc a+1 chia hết cho b\Rightarrowa+1\geqb (do a và a+1 nguyên tố cùng nhau)

\Rightarrowa\geqb-1
nếu a=b-1 bạn thay vào (*)...
nếu a=b .bạn thay vào (*) ..
nếu a\geqb+1 từ (2)\Rightarrowa=b+1 bạn thay vào (*) .. >-
bạn xem có đúng ko rồi thanks mình sớm nha

 

[maikhaiok]

$$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$$
Để $\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ là số nguyên thì $ab|a^2+b^2+a+b$
Mà $$d^2|ab \rightarrow d^2|a^2+b^2+a+b$$
Lại có $$d^2|a^2+b^2$$
$\rightarrow d^2|a+b \rightarrow d^2\le a+b$ $\rightarrow ĐPCM$

P/s: Mình trích bài này bên VMF