[toán 9] Chia hết !

[thienlong_cuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có bài này hay mình post lên các bạn cùng tham khảo nhé !

Chứng minh rằng

[TEX]A = 1^{2002} + 2^{2002} + 3^{2002} + ... + 2002^{2002}[/TEX]

A chia hết 11

 

[harrypham]

Lời giải. Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có [TEX]a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}[/TEX] với p nguyên tố, và (a,p)=1.

Như vậy
[TEX]1^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (1^{10})^{200}.1^2 \equiv 1^2 \pmod{11}[/TEX].
[TEX]2^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (2^{10})^{200}.2^2 \equiv 2^2 \pmod{11}[/TEX]
....
[TEX]2002^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (2002^{10})^{200}.2002^2 \equiv 2002^2 \pmod{11}[/TEX]

Vậy [TEX]1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002} \equiv 1^2+2^2+...+2002^2 \pmod{11}[/TEX]

Mà [TEX]1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1^2+2^2+...+2002^2= \frac{2002(2.2002+1)(2002+1}{6}=2676679005 \ \vdots 11[/TEX]

Vậy [TEX]1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002} \ \vdots 11[/TEX] (đpcm).

 

[linhhuyenvuong]

Dễ thấy [TEX]A \vdots 1^2+2^2+..+2002^2[/TEX]

Xét vs bt [TEX]B=1^2+2^2+..+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]

Áp dụng:
\Rightarrow[TEX] A \vdots \frac{2002.2003.4005}{6} \vdots 11[/TEX]
\Rightarrowđpcm

 

[thienlong_cuong]

Lời giải. Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có [TEX]a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}[/TEX] với p nguyên tố, và (a,p)=1.

Như vậy
[TEX]1^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (1^{10})^{200}.1^2 \equiv 1^2 \pmod{11}[/TEX].
[TEX]2^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (2^{10})^{200}.2^2 \equiv 2^2 \pmod{11}[/TEX]
....
[TEX]2002^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (2002^{10})^{200}.2002^2 \equiv 2002^2 \pmod{11}[/TEX]

Vậy [TEX]1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002} \equiv 1^2+2^2+...+2002^2 \pmod{11}[/TEX]

Mà [TEX]1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1^2+2^2+...+2002^2= \frac{2002(2.2002+1)(2002+1}{6}=2676679005 \ \vdots 11[/TEX]

Vậy [TEX]1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002} \ \vdots 11[/TEX] (đpcm).

Cách làm hay đó !
Anh cũng nghĩ ra 1 pp khác , nhưng xét hơi cồng tý

Ta dễ thấy
[TEX] A \equiv (1 + 2^{2002} + .... + 10^{2002}) \equiv 2(1 + 2^{2002} + 3^{2002} + 4^{2002} + 5^{2002})[/TEX]

Tới đây thì cách xét như cách của em ! Hì !
Thực tình tới đây anh xét kiểu khác
VD như

[TEX]2^5 = 32 = 11k - 1 \Rightarrow 2 ^{2002} = 2^{2000}.4 = (11p +1).4 = 11p + 4[/TEX]

Tương tự như thế sẽ có đpcm