Toán [Toán 9] Câu cuối đề thi trường mình

[minhpheu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình viết lại đề bài nhé, mong các bạn giúp đỡ
Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a + b +c = 3
Tìm GTLN của biểu thức: Q = (a^2 -ab + b^2 )(b^2 -bc+ c^2)(c^2 - ca + a^2).

 

[Ann Lee]

Mình viết lại đề bài nhé, mong các bạn giúp đỡ
Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a + b +c = 3
Tìm GTLN của biểu thức: Q = (a^2 -ab + b^2 )(b^2 -bc+ c^2)(c^2 - ca + a^2).

Do vai trò của các biến là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a\geq b\geq c\geq 0[/tex]
Có: [tex]b^{2}-bc+c^{2}=b^{2}-c(b-c)\leq b^{2}[/tex]
Tương tự: [tex]a^{2}-ac+c^{2}\leq a^{2}[/tex]
$\Rightarrow Q\leq (a^{2}-ab+b^{2})a^{2}b^{2}$
$=\frac{4}{9}(a^{2}-ab+b^{2}).\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}$
$\leq \frac{4}{9}(\frac{a^{2}-ab+b^{2}+\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}}{3})^{3}$
$=\frac{4}{9}.(\frac{(a+b)^{2}}{3})^{3}$
$=\frac{4}{9}.\frac{(a+b)^{6}}{27}$
$\leq \frac{4}{9}.\frac{(a+b+c)^{6}}{27}=12 $
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \\ c=0 \end{matrix}\right.[/tex] và các hoán vị của nó~~~

 

[Dran1208]

Do vai trò của các biến là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a\geq b\geq c\geq 0[/tex]
Có: [tex]b^{2}-bc+c^{2}=b^{2}-c(b-c)\leq b^{2}[/tex]
Tương tự: [tex]a^{2}-ac+c^{2}\leq a^{2}[/tex]
$\Rightarrow Q\leq (a^{2}-ab+b^{2})a^{2}b^{2}$
$=\frac{4}{9}(a^{2}-ab+b^{2}).\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}$
$\leq \frac{4}{9}(\frac{a^{2}-ab+b^{2}+\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}}{3})^{3}$
$=\frac{4}{9}.(\frac{(a+b)^{2}}{3})^{3}$
$=\frac{4}{9}.\frac{(a+b)^{6}}{27}$
$\leq \frac{4}{9}.\frac{(a+b+c)^{6}}{27}=12 $
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \\ c=0 \end{matrix}\right.[/tex] và các hoán vị của nó~~~

để tìm ra cách giải này thì có hướng suy nghĩ ntn ko bn ?
#Ann: Hướng suy nghĩ á :v Thực ra là bài này là mình vô tình save về máy thôi, đọc đề thấy quen quen nên mở ra coi :3 Ngại quá

 

[Dran1208]

để tìm ra cách giải này thì có hướng suy nghĩ ntn ko bn ?
#Ann: Hướng suy nghĩ á :v Thực ra là bài này là mình vô tình save về máy thôi, đọc đề thấy quen quen nên mở ra coi :3 Ngại quá

Do vai trò của các biến là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a\geq b\geq c\geq 0[/tex]
Có: [tex]b^{2}-bc+c^{2}=b^{2}-c(b-c)\leq b^{2}[/tex]
Tương tự: [tex]a^{2}-ac+c^{2}\leq a^{2}[/tex]
$\Rightarrow Q\leq (a^{2}-ab+b^{2})a^{2}b^{2}$
$=\frac{4}{9}(a^{2}-ab+b^{2}).\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}$
$\leq \frac{4}{9}(\frac{a^{2}-ab+b^{2}+\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}}{3})^{3}$
$=\frac{4}{9}.(\frac{(a+b)^{2}}{3})^{3}$
$=\frac{4}{9}.\frac{(a+b)^{6}}{27}$
$\leq \frac{4}{9}.\frac{(a+b+c)^{6}}{27}=12 $
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \\ c=0 \end{matrix}\right.[/tex] và các hoán vị của nó~~~

ok c , tại t sắp ktra về bất đẳng thức mà giờ nhìn đề bài còn chưa xác định đc phải làm j nên muốn hỏi bí quyết thôi :3