[Toán 9] Căn thức

N

nhuquynhdat

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: $a,b,c > 0$ và $ax^4=by^4=cz^4$ và $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1$

CMR: $\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}$

Bài 2: CMR: $\sqrt{(ab-cd)(bc-da)(ca-bd)}$ là số hữu tỉ nếu $a+b+c+d=0$

Bài 3: Cho $(x+ \sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$

CMR: $x\sqrt{y^2+1}+ y\sqrt{x^2+1}=0$
 
R

ronaldover7

Ta có:

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$

\Rightarrow $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1=x^2+1-x^2$
\Rightarrow $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)$
\Rightarrow $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})-(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)=0$
\Rightarrow $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}+x)=0$
\Rightarrow $y+\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}+x=0(do(x+\sqrt{x^2+1}=0$ thì $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=0$ vô lý)
CMTT: $y-\sqrt{y^2+1}+\sqrt{x^2+1}+x=0$
CÔng 2 cái lại : \Rightarrow $2(x+y)=0$ \Rightarrow $x=-y$
\Rightarrow Thế vào !
 
A

angleofdarkness

Bài 3: Cho $(x+ \sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$ (*)

CMR: $x\sqrt{y^2+1}+ y\sqrt{x^2+1}=0$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Xử bài dễ trước =)) =))

Đặt $A=x\sqrt{y^2+1}+ y\sqrt{x^2+1}$

(*) \Leftrightarrow $xy+A+\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}=1$

\Leftrightarrow $(1-A)^2=(xy+\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)})^2$

\Leftrightarrow $A^2-2A=2x^2y^2+2xy\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}+x^2+y^2$ @};-

Mà $A^2=x^2(y^2+1)+y^2(x^2+1)+2xy\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)} \\ =2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}$

Kêt hợp @};- \Rightarrow $A^2-2A=A^2$ \Rightarrow A = 0.

đpcm.
 
A

angleofdarkness

Cách 2:

Ta có $$(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=1 \\ (y+\sqrt{y^2+1})(\sqrt{y^2+1}-y)=1$$
Kết hợp (*) \Rightarrow $$\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1} \\ \sqrt{y^2+1}-y=x+ \sqrt{x^2+1}(1)$$
Cộng theo vế vào \Rightarrow x + y = 0 \Leftrightarrow x = -y.

(1) \Rightarrow $\sqrt{y^2+1}+x=x+\sqrt{x^2+1}$ \Rightarrow $\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}$

\Rightarrow $x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=-y\sqrt{x^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=0$

Xong :D
 
R

ronaldover7

Bài 1: $a,b,c > 0$ và $ax^4=by^4=cz^4$ và $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1$

CMR: $\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}$

ĐẶt $ax^4=by^4=cz^4=k$
\Rightarrow $ax^2=\frac{k}{x^2}$;$by^2=\frac{k}{y^2}$;$cz^2= \frac{k}{z^2}$
\Rightarrow $ax^2+by^2+cz^2=\frac{k}{x^2}+\frac{k}{y^2}+\frac{k}{z^2}$
\Rightarrow $ax^2+by^2+cz^2=k(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2})$
\Rightarrow $\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt{k}$

$ax^4=by^4=cz^4=k$
\Rightarrow $\sqrt{ax^4}=\sqrt{by^4}=\sqrt{cz^4}=\sqrt{k}$
\Rightarrow $\sqrt{a}x^2=\sqrt{b}y^2=\sqrt{c}z^2=\sqrt{k}$
\Rightarrow $\sqrt{a}=\frac{\sqrt{k}}{x^2}$;$\sqrt{b}= \frac{\sqrt{k}}{y^2}$;$\sqrt{c}=\frac{\sqrt{k}}{z^2}$
\Rightarrow $\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}$=$\sqrt{k}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2})$=$\sqrt{k}$
\Rightarrow $\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}=$=$\sqrt{k}$
 
Last edited by a moderator:
H

hoangtubongdem5

Giải câu 1

Câu 1:

Gọi vế trái là T, vế phải là P, ta có:

T = [TEX]\sqrt[]{\frac{ax^4}{x^2} +\frac{by^4}{y^2} + \frac{cz^4}{z^2} }[/TEX]

= [TEX]\sqrt[]{ax^4(\frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}} [/TEX]

[TEX]x^2\sqrt[]{a}[/TEX] [TEX]\Rightarrow \sqrt[]{a} = \frac{T}{x^2}[/TEX]

Tương tự [TEX]\sqrt[]{b} = \frac{T}{y^2}[/TEX] ; [TEX]\sqrt[]{c} = \frac{T}{z^2}[/TEX]

Vậy....
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom