toán 9 căn bậc hai

[angellovedevilforever]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho A=[TEX]a\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{ab}[/TEX] và B=[TEX]b\sqrt[2]{b}+\sqrt[2]{ab}[/TEX] với a>0,b>0
Chứng minh rằng nếu [TEX]\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b}[/TEX] và [TEX]\sqrt[2]{ab} [/TEX]là số hữu tỉ thì A+B và A.B cũng là số hữu tỉ

 

[hellangel98]

A+B=a[tex] \sqrt {a}[/tex]+b[tex] \sqrt {b}[/tex]+2[tex] \sqrt {ab}[/tex]
=[tex] \sqrt {a^3}[/tex]+[tex] \sqrt {b^3}[/tex]+2[tex] \sqrt {ab}[/tex]
=([tex] \sqrt {a}[/tex]+ [tex] \sqrt {b}[/tex])(a+b-[tex] \sqrt {ab}[/tex])+2[tex] \sqrt {ab}[/tex]
=([tex] \sqrt {a}[/tex]+ [tex] \sqrt {b}[/tex][( [tex] \sqrt {a}[/tex]+[tex] \sqrt {b}[/tex])^2-3[tex] \sqrt {ab}[/tex]]+2[tex] \sqrt {ab}[/tex] (* )
A.B=(a[tex] \sqrt {a}[/tex]+[tex] \sqrt {ab}[/tex])(b[tex] \sqrt {b}[/tex]+[tex] \sqrt {ab}[/tex])
=ab[tex] \sqrt {ab}[/tex]+ab+[TEX]a^2[/TEX][tex] \sqrt {b}[/tex]+[TEX]b^2[/TEX][tex] \sqrt {a}[/tex]
=[tex] \sqrt {ab}[/tex]([tex] \sqrt {ab}[/tex]+1)+[tex] \sqrt {ab}[/tex](a[tex] \sqrt {a}[/tex]+b[tex] \sqrt {b}[/tex])
=[tex] \sqrt {ab}[/tex]([tex] \sqrt {ab}[/tex]+1)+[tex] \sqrt {ab}[/tex]([tex] \sqrt {a}[/tex]+ [tex] \sqrt {b}[/tex][( [tex] \sqrt {a}[/tex]+[tex] \sqrt {b}[/tex])^2-3[tex] \sqrt {ab}[/tex]](do *)
đặt [tex] \sqrt {a}[/tex]+[tex] \sqrt {b}[/tex]=x.[tex] \sqrt {ab}[/tex]=y
(x,y thuộc Q và x,y là số hữu tỉ theo gt)thì
A+B=x([TEX]x^2[/TEX]-3y)+2y
AB=y(y+1)+xy([TEX]x^2[/TEX]-3y)
=>số hữu tỉ=>dpcm