[Toán 9] CĂN BẬC 2

[linhgiateo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng

[tex]\frac{1}{4}[/tex] < [tex]\frac{2- \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2} } } } }{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2} } }}[/tex] < [tex]\frac{3}{10}[/tex]

Tử có 2015 dấu căn
Mẫu có 2014 dấu căn

Em chuẩn bị vào lớp 9. Còn cần phải học hỏi nhiều. Mong ac giúp đỡ ạ &gt;-

 

[demon311]

Đặt: $A=\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+...+\sqrt{ 2}}} $ (2014 dấu căn) $0 < A $
Trước hết ta chứng minh $A<2$
Ta có:
$S=\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+...+\sqrt{ 2}}}$ ( vô số dấu căn) (S>0)
$S^2=2+S \\
S^2-S+2=0 \\
S=2$
Mà $A<S$ nên $A<2$

Ta có:

$\dfrac{ 2-\sqrt{ 2+A}}{2-A}=\dfrac{ 4-2-A}{(2-A)(2+\sqrt{ 2+A})}=\dfrac{ 1}{2+\sqrt{ 2+A}} > \dfrac{ 1}{2+\sqrt{ 2+2}}=\dfrac{ 1}{4}$

Ta lại có:

$A> -\dfrac{ 1}{9} \\
2+A> \dfrac{ 16}{9} \\
\sqrt{ 2+A} > \dfrac{ 4}{3} \\
2+\sqrt{ 2+A} > \dfrac{ 10}{3} \\
\dfrac{ 1}{2+\sqrt{ 2+A}} > \dfrac{ 3}{10}$


Vậy,.....

 

[duchieu300699]

anh demon xoá giùm bài của em nha, đăng nhầm chổ ( $..............................................................$

 

[thinhrost1]

Đặt: $A=\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+...+\sqrt{ 2}}} $ (2014 dấu căn) $0 < A $
Trước hết ta chứng minh $A<2$
Ta có:
$S=\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+...+\sqrt{ 2}}}$ ( vô số dấu căn) (S>0)
$S^2=2+S \\
S^2-S+2=0 \\
S=2$
Mà $A<S$ nên $A<2$

Ta có:

$\dfrac{ 2-\sqrt{ 2+A}}{2-A}=\dfrac{ 4-2-A}{(2-A)(2+\sqrt{ 2+A})}=\dfrac{ 1}{2+\sqrt{ 2+A}} > \dfrac{ 1}{2+\sqrt{ 2+2}}=\dfrac{ 1}{4}$

Ta lại có:

$A> -\dfrac{ 1}{9} \\
2+A> \dfrac{ 16}{9} \\
\sqrt{ 2+A} > \dfrac{ 4}{3} \\
2+\sqrt{ 2+A} > \dfrac{ 10}{3} \\
\dfrac{ 1}{2+\sqrt{ 2+A}} > \dfrac{ 3}{10}$


Vậy,.....

Nếu đặt S là n dấu căn thì theo em $S^2$ thì phải bằng 2+ S(n-1) dấu căn chứ ạ !

Bài này chứng minh $A<2$ có cách này:

$A=\sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2} } } < \sqrt{ 2+\sqrt{ 2+...+\sqrt{ 2+2}}}=2$

Sau đó còn lại giải giống anh !

 

[duchieu300699]

Nếu đặt S là n dấu căn thì theo em $S^2$ thì phải bằng 2+ S(n-1) dấu căn chứ ạ !

Bài này chứng minh $A<2$ có cách này:

$A=\sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2} } } < \sqrt{ 2+\sqrt{ 2+...+\sqrt{ 2+2}}}=2$

Sau đó còn lại giải giống anh !

Với S là vô số dấu căn thì A < S

Do vô số nên $S^2=2+S$ cái này có trong sách 1001 bạn )

 

[demon311]

Thịnh: anh ghi là vô số dấu căn tức là vô hạn (\infty) chứ không phải là n dấu căn nhé