[ Toán 9 ] Các bất đẳng thức kinh điển ! ?

[minhvuong9cdt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cho các số nguyên dương :

[TEX]a_1+a_2+a_3+...+a_n\geq n. \sqrt[n]{a_1.a_2.a_3.....a_n}[/TEX]

Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a_1=a_2=a_3=...=a_n[/TEX]

2) Bất đẳng thức Bunhiacôpski (Bunyakovsky) :

[TEX](a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2)[/TEX]

Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow [TEX]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=...=\frac{a_n}{b_n}[/TEX]

3) Bất đẳng thức Bernoully :

Với [TEX]a\geq1[/TEX] ta có :

[TEX](1+a)^n\geq1+na[/TEX]

Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a=0[/TEX]

4) Bất đẳng thức Trê-bư-sep :

Với [TEX]a \geq b \geq c[/TEX] và [TEX]x \leq y \leq z[/TEX]

[TEX](a+b+c)(x+y+z)\geq 3. (ax+by+cy)[/TEX]

Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a=b=c[/TEX] hoặc [TEX]x=y=z[/TEX]


5) Bất đẳng thức Hon-đe (Holder):

Với [TEX]a,b,c,x,y,z,m,n,p[/TEX] là các số thực dương , ta có :

[TEX](a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\geq(amx+bny+cpz)^3[/TEX]

Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a=x=m,b=y=n,c=z=p[/TEX]

Có thể viết dưới dạng khác :

[TEX]a^m+b^m+c^m\geq3.(\frac {a+b+c}{3})^m[/TEX]

6) Bất đẳng thức Schur :

[TEX]a'(a-b)(a-c)+b'(b-c)(b-a)+c'(c-a)(c-b)\geq0[/TEX]

Và mở rộng là BĐT Vonicur Schur :

[TEX]xa'(a-b)(a-c)+yb'(b-c)(b-a)+zc'(c-a)(c-b)\geq0 [/TEX]

Bất đẳng thức Schur trong tam giác :

[TEX]x(b+c-a)'(a-b)(a-c)+y(a+c-b)'(b-c)(b-a)+z(a+b-c)'(c-a)(c-b)\geq0 [/TEX]

(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)

Bất đẳng thức CBS ( Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz )

[TEX]( \sum\limits_{i=1}^{n} a_ib_i)^2 \leq ( \sum\limits_{i=1}^{n} a_i^2)( \sum\limits_{i=1}^{n} b_i^2) [/TEX]

Mỏi tay rồi ! Tạm đến đây nha ! Thanks nếu thấy hay !

 

[chinhphuc_math]

Ơ bài này là kiến thức cơ bản của BDT mà bạn xem trong quyển sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng đầy đủ lém

 

[pedung94]

mình thấy bạn minhvuong9cdt poss nhìu thật đấy. Vậy thì poss bài tập nữa mới có hiệu quả chứ.. nói suông thía này mà ko có bài tập à

 

[minhvuong9cdt]

1 / . . .

Cho các số không âm [TEX]a,b,c[/TEX] trong đó không có hai số nào đồng thời bằng [TEX]0[/TEX]

Chứng minh rằng :

a) [TEX](ab+bc+ca)[\frac 1 {(a+b)^2}+\frac 1 {(b+c)^2}+\frac 1 {(c+a)^2}]\geq \frac 9 4[/TEX]

b) [TEX]\frac {(b+c)^2} {a^2+bc} + \frac {(c+a)^2} {b^2+ca} + \frac {(a+b)^2} {c^2+ab}\geq6[/TEX]

c) [TEX] \frac 1 {a^2 +ab+b^2}+\frac 1 {b^2+bc+c^2}+\frac 1 {c^2+ca+c^2}\geq \frac 9 {(a+b+c)^2}[/TEX]

d) [TEX] (a+b+c) . ( \frac 1 {\sqrt {a^2+ab+b^2}}+\frac 1 {sqrt {b^2+bc+c^2}}+\frac 1 {\sqrt{c^2+ca+ca^2}})\geq 4 + \frac 2 {\sqrt 3 }[/TEX]

e) [TEX] \frac {2a^2+5bc}{(b+c)^2}+\frac {2b^2+5ca}{(c+a)^2} +\frac { 2c^2+5ab }{(a+b)^2}\geq \frac {21} 4 [/TEX]

____________________

Nhớ thanks nếu thấy hay !

 

[minhvuong9cdt]

2 / . . .

a) Cho các số dương [TEX]a,b,c[/TEX].Chứng minh rằng :

[TEX] \frac {ab}{a^2+b^2+3c^2} +\frac {bc}{b^2+c^2+3a^2} + \frac {ca}{c^2+a^2+3b^2}\leq \frac 3 5[/TEX]


b) Cho các số không âm [TEX]a,b,c[/TEX] không có hai số nào đồng thời bằng [TEX]0[/TEX]. Chứng minh rằng :

[TEX]\frac {a+b}{c^2+ab}+\frac {b+c}{a^2+bc}+\frac {c+a}{b^2+ca}\geq \frac 6 {a+b+c}[/TEX]


____________________


Nhớ thanks nếu thấy hay !

 

[balep]

Cho các số không âm [TEX]a,b,c[/TEX] trong đó không có hai số nào đồng thời bằng [TEX]0[/TEX]

Chứng minh rằng :

a) [TEX](ab+bc++ca)[\frac 1 {(a+b)^2}+\frac 1 {(b+c)^2}+\frac 1 {(c+a)^2}]\geq \frac 9 4[/TEX]

b) [TEX]\frac {(b+c)^2} {a^2+bc} + \frac {(c+a)^2} {b^2+ca} + \frac {(a+b)^2} {c^2+ab}\geq6[/TEX]

c) [TEX] \frac 1 {a^2 +ab+b^2}+\frac 1 {b^2+bc+c^2}+\frac 1 {c^2+ca+c^2}\geq \frac 9 {(a+b+c)^2}[/TEX]

d) [TEX] (a+b+c) . ( \frac 1 {\sqrt {a^2+ab+b^2}}+\frac 1 {sqrt {b^2+bc+c^2}}+\frac 1 {\sqrt{c^2+ca+ca^2}})\geq 4 + \frac 2 {\sqrt 3 }[/TEX]

e) [TEX] \frac {2a^2+5bc}{(b+c)^2}+\frac {2b^2+5ca}{(c+a)^2} +\frac { 2c^2+5ab }{(a+b)^2}\geq \frac {21} 4 [/TEX]

____________________

Nhớ thanks nếu thấy hay !

Bài 2 :
Áp dụng BĐT Sac-vơ ta có :VT[TEX]\geq \frac{4({a+b+c})^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}[/TEX]=[TEX]4+\frac{4({a+b+c})}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca}[/TEX]
Ta có : [TEX]4(a+b+c}\geq ({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})+ab+bc+ca \geq 2[/TEX]
Ta có điều cần chứng minh.

 

[love_is_everything_96]

Từ từ làm dần
Bài 1 : Ta có [TEX]\frac{1}{({a+b})^{2}}+\frac{1}{({b+c})^{2}}+\frac{1}{({c+a})^{2}}\geq \frac{9}{2({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca)}[/TEX]
Chỉ cần CM: [TEX] \frac{9}{2({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}[/TEX]
Ta có : [TEX]({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})+ab+bc+ca\geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow {2({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca)}\geq 4(ab+bc+ca) [/TEX]
Ta có điều phải chứng minh .

Cái bước "[TEX]\Rightarrow {2({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca)}\geq 4(ab+bc+ca)[/tex]" là bị đổi chiều rồi bạn
Đây là bất đẳng thức Iran 96 rất nổi tiếng, cách quen thuộc nhất là sử dụng S.O.S.

 

[nguyenhuuquoc]

Bài 1 : Ta có [TEX]\frac{1}{({a+b})^{2}}+\frac{1}{({b+c})^{2}}+\frac{1}{({c+a})^{2}}\geq \frac{9}{2({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca)}[/TEX]
Chỉ cần CM: [TEX] \frac{9}{2({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}[/TEX]
Ta có : [TEX]({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})+ab+bc+ca\geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow {2({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+ab+bc+ca)}\geq 4(ab+bc+ca) [/TEX]
Ta có điều phải chứng minh .

khẹc,ngược dấu rồi kìa, làm lại đi- bài nầy kô phải xoàng đâu!!!!!

 

[minhvuong9cdt]

Cho các số không âm [TEX]a,b,c[/TEX] trong đó không có hai số nào đồng thời bằng [TEX]0[/TEX]

Chứng minh rằng :

a) [TEX](ab+bc+ca)[\frac 1 {(a+b)^2}+\frac 1 {(b+c)^2}+\frac 1 {(c+a)^2}]\geq \frac 9 4[/TEX]

b) [TEX]\frac {(b+c)^2} {a^2+bc} + \frac {(c+a)^2} {b^2+ca} + \frac {(a+b)^2} {c^2+ab}\geq6[/TEX]

c) [TEX] \frac 1 {a^2 +ab+b^2}+\frac 1 {b^2+bc+c^2}+\frac 1 {c^2+ca+c^2}\geq \frac 9 {(a+b+c)^2}[/TEX]

d) [TEX] (a+b+c) . ( \frac 1 {\sqrt {a^2+ab+b^2}}+\frac 1 {sqrt {b^2+bc+c^2}}+\frac 1 {\sqrt{c^2+ca+ca^2}})\geq 4 + \frac 2 {\sqrt 3 }[/TEX]

e) [TEX] \frac {2a^2+5bc}{(b+c)^2}+\frac {2b^2+5ca}{(c+a)^2} +\frac { 2c^2+5ab }{(a+b)^2}\geq \frac {21} 4 [/TEX]

____________________

Nhớ thanks nếu thấy hay !

Mấy bài này phải xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số f(x) các bác ạh !