* $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^2-1}+\dfrac{1}{x+1} > \dfrac{3}{x+1}$
Áp dụng vào được:
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}>1$
$\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}>\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}>\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{13}>\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{16}>\dfrac{1}{5}$
Do đó $S>1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}>2+\dfrac{1}{5}>2$
* $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{2}{x}$
Áp dụng vào được:
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}<1$
$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{2}$
$...$
$\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}<\dfrac{1}{7}$
$\dfrac{1}{16}<\dfrac{1}{8}$
Do đó $S<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{8}$
Tiếp tục áp dụng cho ta $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{8}<1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{8}=2+\dfrac{23}{24}<3$
Do đó $S<3$
Kết hợp với kết quả thứ nhất cho ta $2<S<3$. Tuy nhiên ở giữa hai số tự nhiên liên tiếp chả có số tự nhiên nào nữa cả nên $S$ không là số tự nhiên cũng như $S$ không nguyên.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn