[Toán 9] c/m rằng: Un+1 là số chính phương

[thienthanhnho_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số Un=111..........1555.......5( n số 5 và n số 1)
c/m rằng: Un+1 là số chính phương

 

[icy_tears]

Ta có:
$U_n + 1 = \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots11} \\ n \end{matrix} .10^n + \begin{matrix} \underbrace{ 555\cdots55 } \\ n \end{matrix} + 1$

$= \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots99 } \\ n \end{matrix} : 9 .10^n + \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots99 } \\ n \end{matrix} : 9 . 5 + 1$

$= \frac{10^n - 1}{9} . 10^n + \frac{10^n - 1}{9} . 5 + 1$

$= \frac{(10^n - 1) . 10^n + (10^n - 1) . 5 + 9}{9}$

$= \frac{10^{2n} - 10^n + 5 . 10^n - 5 + 9}{9}$

$= \frac{(10^n)^2 - 2 . 10^n . 2 + 2^2}{3^2}$

$= \frac{(10^n - 2)^2}{3^2}$

$= (\frac{10^n - 2}{3})^2$

_______________________________________________________________________________

 

[tunghp1998]

Ta có:
$U_n + 1 = \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots11} \\ n \end{matrix} .10^n + \begin{matrix} \underbrace{ 555\cdots55 } \\ n \end{matrix} + 1$

$= \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots99 } \\ n \end{matrix} : 9 .10^n + \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots99 } \\ n \end{matrix} : 9 . 5 + 1$

$= \frac{10^n - 1}{9} . 10^n + \frac{10^n - 1}{9} . 5 + 1$

$= \frac{(10^n - 1) . 10^n + (10^n - 1) . 5 + 9}{9}$

$= \frac{10^{2n} - 10^n + 5 . 10^n - 5 + 9}{9}$

$= \frac{(10^n)^2 - 2 . 10^n . 2 + 2^2}{3^2}$

$= \frac{(10^n - 2)^2}{3^2}$

$ (\frac{10^n - 2}{3})^2$

_______________________________________________________________________________

Bạn làm sai mất một bước rồi!!!!! : $ \frac{(10^n)^2 - 2 . 10^n . 2 + 2^2}{3^2}$


Phải là dấu + chứ : $ \frac{(10^n)^2 + 2 . 10^n . 2 + 2^2}{3^2}$

Kết quả cuối phải là: $= (\frac{10^n + 2}{3})^2$

Ta có $= (10^n + 2) \vdots 3$ (số đó là 100...002 có tổng các chữ số là 3) nên $ \frac{10^n + 2}{3}$ là số tự nhiên nên$ (\frac{10^n + 2}{3})^2$ là số chính phương.

>-

 

[bossjeunhan]

Làm giúp bạn

Ta có:
[FONT=MathJax_Math]U[FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]111[/FONT][FONT=MathJax_Main]⋯[/FONT][FONT=MathJax_Main]11[/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main].10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]555[/FONT][FONT=MathJax_Main]⋯[/FONT][FONT=MathJax_Main]55[/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]999[/FONT][FONT=MathJax_Main]⋯[/FONT][FONT=MathJax_Main]99[/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]:[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT][FONT=MathJax_Main].10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]999[/FONT][FONT=MathJax_Main]⋯[/FONT][FONT=MathJax_Main]99[/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Size4][/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]:[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]5[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]5[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]5[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]5[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]5[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT][FONT=MathJax_Main]9[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]3[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]3[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]10[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]3[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][/FONT]