[Toán 9] BT về một số hệ phương trình không mẫu mực và đối xứng loại I + II

[haiyen621]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải các hệ phương trình sau:
a)
[TEX]\left{\begin{x^2 + y^2 + xy + 1=4y}\\{y(x+y)^2=2x^2 + 7y +2}[/TEX]

b)
[TEX]\left{\begin{x+\frac{x+3y}{x^2+y^2}=3}\\{y-\frac{y-3x}{x^2+y^2}=0} [/TEX]

c)
[TEX]\left{\begin{2x + x^2 - y^2=3}\\{x^2+y^2=1} [/TEX]

d)
[TEX]\left{\begin{\frac{108}{x+y}+\frac{63}{y-x}=7}\\{\frac{81}{x+y}+\frac{84}{y-x}=7} [/TEX]

e)
[TEX]\left{\begin{x^2+y^2 +x^2.y^2=1+2xy}\\{x+x^2y + xy=xy^2 + y +1} [/TEX]

f)
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x-2}+\sqrt{10-y}=4}\\{\sqrt{y-2}+\sqrt{10-x}=4} [/TEX]

g)
[TEX]\left{\begin{2x=y(1-x^2)}\\{2y=x(1-y^2)} [/TEX]

 

[viethoang1999]

1)
Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ.
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} + xy + 1 = 4y}\\
{y{{\left( {x + y} \right)}^2} = 2{x^2} + 7y + 2}
\end{array}} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + x + y = 4\\
{\left( {x + y} \right)^2} = 2.\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + 7
\end{array} \right.\]
Đặt $u = \dfrac{{{x^2} + 1}}{y},\,\,v = x + y$, ta có hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 4\\
{v^2} = 2u + 7
\end{array} \right.\]
Dùng phép thế giải nốt.

 

[hien_vuthithanh]

f)
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x-2}+\sqrt{10-y}=4}\\{\sqrt{y-2}+\sqrt{10-x}=4} [/TEX]

Đk...

Từ hệ \Rightarrow $\sqrt{x-2}+\sqrt{10-y}=\sqrt{y-2}+\sqrt{10-x}$

\Leftrightarrow $\sqrt{x-2}+\sqrt{10-y} -\sqrt{y-2}-\sqrt{10-x} =0$

Liên hợp ta có$\dfrac{x-y}{\sqrt{x-2} +\sqrt{y-2}} +\dfrac{x-y}{\sqrt{10-x}+\sqrt{10-y}}=0$

\Leftrightarrow $(x-y) (\dfrac{1}{\sqrt{x-2} +\sqrt{y-2}} +\dfrac{1}{\sqrt{10-x}+\sqrt{10-y}})=0$

\Leftrightarrow $x=y$ (vì cái trong ngoặc luôn dương)

Thế vào 1 trong 2 PT giải tìm nghiệm

 

[hien_vuthithanh]

g)
[TEX]\left{\begin{2x=y(1-x^2)}\\{2y=x(1-y^2)} [/TEX]

Hệ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}2x=y-x^2y\\ 2y=x-xy^2\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $2x^2-2x^2y^2=2y^2-2x^2y^2$

\Leftrightarrow $x^2=y^2$

\Leftrightarrow $x=\pm y$

Thay vào từng trường hợp giải tìm nghiệm

 

[lp_qt]

g. ta thấy $x;y \ne 0$

$\left\{\begin{matrix}2x=y-yx^2 & \\ 2y=x-xy^2 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}yx^2=y-2x & \\ xy^2=x-2y & \end{matrix}\right.$

\Rightarrow $\dfrac{yx^2}{x^2y}=\dfrac{y-2x}{x-2y}$

\Rightarrow $\dfrac{x}{y}=\dfrac{y-2x}{x-2y}$

\Leftrightarrow $xy-2xy=y^2-2xy$

\Leftrightarrow $x^2=y^2$

\Leftrightarrow $x=\pm y$

thay vào tìm $x;y$

 

[hien_vuthithanh]

b)
[TEX]\left{\begin{x+\frac{x+3y}{x^2+y^2}=3}\\{y-\frac{y-3x}{x^2+y^2}=0} [/TEX]

Hệ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} x+y+\dfrac{4x-2y}{x^2+y^2}=3\\ x-y+\dfrac{-2x+4y}{x^2+y^2}=3\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $x+y+\dfrac{4x-2y}{x^2+y^2}=x-y+\dfrac{-2x+4y}{x^2+y^2}$

\Leftrightarrow $2y=\dfrac{-6x+6y}{x^2+y^2}$

\Leftrightarrow $y=\dfrac{-3x+3y}{x^2+y^2}$

\Rightarrow $\dfrac{-3x+3y}{x^2+y^2}=\dfrac{y-3x}{x^2+y^2} (=y)$

\Leftrightarrow $y=0$

Thay vào 1trong 2PT tìm $x$

 

[tathivanchung]

c)
[TEX]\left\{\begin{matrix}2x+x^2-y^2=3\\x^2+y^2=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^2+2x=4\\x^2+y^2=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^2+2x-4=0\\x^2+y^2=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 ; x=-2\\x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.[/TEX]
Từ đó giải ra tìm được y.

 

[tathivanchung]

d)
Từ hệ phương trình suy ra
[TEX]\frac{108}{x+y}+\frac{63}{y-x}=\frac{81}{x+y}+\frac{84}{y-x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{27}{x+y}-\frac{21}{y-x}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 27(y-x)-21(x+y)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 6y-48x=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y=8x[/TEX]
Thay [TEX]y=8x[/TEX] vào hpt từ đó giải ra tìm được x;y

 

[hien_vuthithanh]

e)
[TEX]\left{\begin{x^2+y^2 +x^2.y^2=1+2xy}\\{x+x^2y + xy=xy^2 + y +1} [/TEX]

Hệ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}(x-y)^2+x^2y^2=1\\(x-y)+xy(x-y)+xy=1 \end{matrix}\right.$ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=1\\a+ab+b=1 \end{matrix}\right.$ ($a=x-y ; b=xy$)

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}(a+b)^2-2ab=1\\(a+b)+ab=1 \end{matrix}\right.$ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} u^2-2v=1\\ u+v=1 \end{matrix}\right.$ ($u=a+b ,v=ab)$

Thế \Rightarrow $u;v$ \Rightarrow $a;b$ \Rightarrow Nghiệm