[Toán 9] BT chọn lọc từ các đề thi HSG Bà Rịa - Vũng Tàu

[minhhoang_vip]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) (HSG 1994 - 1995) Chứng minh tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

2) (Chọn HSG 2010 - 2011)
1. Tìm GTNN của biểu thức [TEX]M = (1 + tg^2x)(1 - sin^2x) + (1 +cotg^2x)(1 - cos^2 x) - sinxcosx (0^o < x < 90^o)[/TEX]
2. Cho x, y, z là các số nguyên dương thoả điều kiện xy + yx + zx = xyz.
Chứng minh [TEX]\frac{1}{x + 4y + 9z} \leq \frac{1}{36}[/TEX]

3) (HSG TP 2001 - 2002)
1. Cho x > 0, y > 0, z > 0. Chứng minh
[TEX]\sqrt{x + 2y} + \sqrt{x + 2z} \leq 2\sqrt{x + y + z}[/TEX]
Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
[TEX]A = \sqrt{x - 2001} - \sqrt{2002 - x} [/TEX]

4) (Chọn HSG 2006 - 2007)
1. Cho x, y > 0 thoả [TEX]x^8+y^8 = x^7+y^7 = x^6 + y^6 [/TEX]. Tính [TEX]M = x^9+ y^{10}[/TEX]
2. Cho a, b, c >0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức [TEX]\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \leq \sqrt{6}[/TEX]

 

[yumi_26]

Giải bài 4 câu 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

 

[tuyn]

Bài 4:
Do [TEX]x^8+y^8=x^6+y^6[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(x^8+y^8)=(x^8+x^6)+(y^8+y^6) \geq 2x^7+2y^7(Cauchy)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^8+y^8 \geq x^7+y^7[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi: [TEX]\left{\begin{x^8=x^6}\\{y^8=y^6} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=y=1[/TEX]
Vậy M=2
Bài 3:
1) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
[TEX]VT^2 \leq 2(x+2y+x+2z)=4(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \leq 2 \sqrt{x+y+z}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z
2) ĐK: 2001 \leq x \leq 2002
[TEX]A^2=1-2 \sqrt{x-2001)(2002-x)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A^2 \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq A \leq 1[/TEX]
Vậy:
MinA=-1 khi: x=2001
MaxA=1 khi: x=2002

 

[khanhtoan_qb]

Bài 1:
Ta có:
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp đó là: n - 1; n ; n + 1
Ta có:
[TEX](n - 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = 3(n^3 - n) + 9 = 3n(n + 1)(n - 1) + 9[/TEX] chia hết cho 9
Do n(n - 1)(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3