[Toán 9] Biểu thức đại số

[hieucoichuotchit@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

B1: cho a, b, c tuỳ ý thuộc [0;1]. chứng minh
$a^2+b^2+c^2$ \leq $1+a^2b+b^2c+c^2a$
$2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)$\leq3


B2
gsử x1, x2 là nghiệm pt $x^2-6x+1=0$
chứng minh \forall n thuộc N thì Sn = $x_1^n+x_2^n$ không chia hết cho 5

@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề
~> Lần này mình nhắc nhở, còn lần sau sẽ xóa

 

[654321sss]

B1: cho a, b, c tuỳ ý thuộc [0;1]. chứng minh
$a^2+b^2+c^2$ \leq $1+a^2b+b^2c+c^2a$

Ta có:
$a^2(1-b)$ \leq $a(1-b)$
tương tự ta có
$b^2(1-c)$ \leq$ b(1-c)$
$c^2(1-a)$ \leq $c(1-a)$
Cộng lại được:
$1-(1-a)+b(1-a)-bc(1-a)+c(1-a)-abc$ \geq $a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2$ \leq $1+a^2b+b^2c+c^2a+abc+(1-a)(1-b)(1-c)$
a, b, c tuỳ ý thuộc [0;1] nên BĐT được cm

 

[hieucoichuotchit@gmail.com]

Ta có:
$a^2(1-b)$ \leq $a(1-b)$
tương tự ta có
$b^2(1-c)$ \leq$ b(1-c)$
$c^2(1-a)$ \leq $c(1-a)$
Cộng lại được:
$1-(1-a)+b(1-a)-bc(1-a)+c(1-a)-abc$ \geq $a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2$ \leq $1+a^2b+b^2c+c^2a+abc+(1-a)(1-b)(1-c)$
a, b, c tuỳ ý thuộc [0;1] nên BĐT được cm

dấu bằng đâu hả anh :v...............................||

 

[forum_]

Dấu "=" khi 2 trong 3 số = 0 ; 1 số =1

---------------------------------------------------------

 

[angleofdarkness]

2/

Có $\Delta '=(-3)^2-1.1=8>0$ \Rightarrow pt cho luôn có 2 nghiệm pb $x_1;x_2$

Theo Viet thì $$x_1+x_2=6;x_1x_2=1$$
Đến đây dùng quy nạp là hướng đi dễ thấy

- Với n = 0 thì $S_0=2$ chia cho 5 dư 2.

- Với n = 1 thì $S_1=x_1+x_2=6$ chia cho 5 dư 1.

- Với n = 2 thì $S_2=x_1^2+x_2^2=34=6S_1-S_0$ không chia hết cho 5. (dư 4 ) )

G/s đpcm đúng đến n = k $\in$ N* thì $S_{k-1}=x_1^{k-1}+x_2^{k-1}$ chia cho 5 dư 2 và $S_k=x_1^k+x_2^k$ chia cho 5 dư 1.

Ta có $S_{k+1}=x_1^{k+1}+x_2^{k+1}=(x_1^k+x_2^k)(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1^{k-1}+x_2^{k-1})$

Hay $S_{k+1}=6S_k-S_{k-1}$ không chia hết cho 5, (chính xác là chia 5 dư 4 =)) )