Toán 9 - Biểu thức chứa căn bậc hai

[zezo_flyer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a = \sqrt{2} - 1[/TEX]

a. Viết [TEX]a^2[/TEX], [TEX]a^3[/TEX] dưới dạng [TEX]\sqrt{m} - \sqrt{m-1}[/TEX] trong đó m là số tự nhiên.

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số [TEX]a^n[/TEX] viết được dưới dạng trên.

--------------------------------------------------------------

Phần a. mình làm được rồi, các bạn giúp mình phần b nhé ^^.mình cảm ơn

 

[cry_with_me]

E thử làm thẳng phần b nha

Nếu n=1 thì $a_1=\sqrt{2}-\sqrt{1}$

giả sử gthiet đúng với n=k, tức là:

$a^k=\sqrt{t}-\sqrt{t-1}$

Ta cần cm $a^{k+1}$ có dạng : $\sqrt{u}-\sqrt{u-1}$

Xét:

$a^{k+1}=a^k.a=(\sqrt{t}-\sqrt{t-1})(\sqrt {2}-1)=\sqrt{2t}-\sqrt{2(t-1)}-\sqrt{t}+\sqrt{t-1}=(\sqrt{2t}+\sqrt{t-1})-(\sqrt{2(t-1)}+\sqrt{t})$

đặt : $\sqrt{u}=\sqrt{2t}+\sqrt{t-1}$

$\leftrightarrow u=3t-1+\sqrt{2t(t-1)}$

$\leftrightarrow u-1=3t-2+\sqrt{2t(t-1)}=2(t-1)+t+\sqrt{2(t-1)t}=(\sqrt{2(t-1)}+\sqrt{t})^2$

$\rightarrow \sqrt{2(t-1)}+\sqrt{t}=\sqrt{u-1}$

$\rightarrow a^{k+1}=\sqrt{u}-\sqrt{u-1}$ (đpcm)