[Toán 9] BĐT

[googlekame]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y,z$ là 3 số dương thỏa mãn $x+y+z=3.$
CMR: $\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+ \dfrac{y^3}{y^2+z^2}+ \dfrac{z^3}{x^2+z^2} \ge \dfrac{3}{2}$.
Pro giúp e tối e cần oy. :-SS

 

[hien_vuthithanh]

Cho $x,y,z$ là 3 số dương thỏa mãn $x+y+z=3.$
CMR: $\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+ \dfrac{y^3}{y^2+z^2}+ \dfrac{z^3}{x^2+z^2} \ge \dfrac{3}{2}$.

Có : $\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x- \dfrac{xy^2}{2xy}=x-\dfrac{y}{2}$

TT $\rightarrow \dfrac{x^3}{x^2+y^2}+ \dfrac{y^3}{y^2+z^2}+ \dfrac{z^3}{x^2+z^2} \ge x+y+z- \dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2} -\dfrac{z}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}$

$\rightarrow dpcm$

 

[huynhbachkhoa23]

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum x^3+\sum \dfrac{x^3z^2}{x^2+y^2}\ge \dfrac{3(x^2+y^2+z^2)}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Holder: $\sum \dfrac{x^3z^2}{x^2+y^2}\ge \dfrac{(xy+yz+zx)^3}{3\sum x(y^2+z^2)}$
Do đó ta cần chứng minh: $\sum x^3+\dfrac{(xy+yz+zx)^3}{3\sum x(y^2+z^2)}\ge \dfrac{3(x^2+y^2+z^2)}{2}$
Đặt $q=xy+yz+zx$ và $r=xyz$ thì ta cần chứng minh: $27-12q+6r+\dfrac{2q^3}{9(q-r)}\ge 0$
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 3: $LHS\ge 27-12q+2(4q-9)+\dfrac{2q^3}{9q-3(4q-9)}=\dfrac{(3-q)(81-18q-2q^2)}{3(9-q)}\ge 0$ do $3\ge q>0$