[Toán 9] BDT

[hien_vuthithanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[/Cho a,b,c >0 .c/m $ (a+\dfrac{1}{a}) (b+\dfrac{1}{b}) (c+\dfrac{1}{c})$\geq 2$(1+\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$

 

[huynhbachkhoa23]

Dùng kỹ thuật ghép để đồng bậc hoá:
$LHS \ge \left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}} \right)\left(\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{c}{a}}+ \sqrt{\dfrac{a}{c}}\right)=2+\sum\limits_{sym} \dfrac{a}{b}$
Nhờ AM-GM, ta được: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+1 \ge \dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$
Tương tự với hoán vị còn lại, cộng hết vào ta được:
$\sum\limits_{sym}\dfrac{a}{b} \ge \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}-3 \ge \dfrac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$